中学数学図形の問題

質問

数10年ぶりに中学数学の勉強をしております。
どうしても分からない問題がありました。
解き方を教えていただけたら幸いです。

1辺が16cmの正三角形がある。
上にある角をA、左下の角をB、右下の角をCとする。
辺AB（左辺）を4等分し、上方より3:1になる所を
点Dとする。
辺BC（下辺）を4等分し、左からみて3:1になる所を
点Eとする。
点Dと点Eを結んで出来る辺DEは何cmですか。

答え：4√7
とのことですがどうしても8√2になってしまいます。
お分かりの方よろしくお願いいたします。

回答No.2

YAMADAni · ベストアンサー

かなり端折りますが。

ＤからＢＣ上へ垂線を下ろす。その交点をＦとする。
ＤＦの長さは２√３　　（ＡＢＣの高さは８√３より）
また、ＢＦの長さは２　（上と同様に。直角三角形の相似と考える）
するとＥＦは10
さきよりＤＦは２√３

あとは、ＤＥ^2＝ＤＦ^2＋ＦＥ^2　で三平方

という方法もあります

お礼

分かりました！
自分にはYAMADAni様の方法で理解出来ました。
回答ありがとうございました。

回答No.4

nattocurry

8√2になってしまう計算過程を書いた方が良いですよ。

お礼

何故か△BEDの∠Dを90度と思いこんでしまいました。
よく確認すると、何処にもそんな情報ないですね（汗
で、△BEDに三平方の定理を当てはめて解いておりました。
8√2の解答については当方の勘違いでした、すみません。

回答No.3

pasocom

点Dから辺BC（下辺）に垂線を下ろし、その交点をFとしましょう。
辺BDの長さは4ですから、辺DFの長さは4x√3/2=2√3　、辺BFの長さは4/2=2　ですね。従って辺FEの長さは12-2=10です。
すると求める辺DEの長さをxとすると、直角三角形の原理から
DC^2=DF^2+FE^2　つまり
x^2=(2√3)^2+10^2
これを解けば答え：ｘが求まります。

お礼

理解することが出来ました！
回答いただきありがとうございました。

回答No.1

hirono320

いろいろな解き方があると思いますが、中学数学と言うことなので
三角形の相似を利用するものだと思います。

まずＣＡを同様に４等分し、ＣＦ：ＦＡ＝３：１とします。
そうすると△ＤＥＦは正三角形になり、△ＡＤＦ≡△ＢＥＤ≡△ＣＦＥとなります。
ここで△ＡＤＦの面積は△ＡＢＣの（１／４）×（３／４）ですから、
△ＤＥＦの面積：△ＡＢＣの面積＝（１－9/16）：１＝　7/16　：１＝７：１６
辺の比は√７：４となります。ＤＥ＝１６÷４×√７＝４√７です。

お礼

迅速に回答いただきありがとうございました。
問題を解くヒントとなり助かりました。