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中学生の数学の問題です(図形)

中学生の数学の問題です 三角形ABCがあり、角BAC=45度 角ABC=70度である。点Pは辺BC上を動く。点Pを辺AB、辺ACについて対象移動した点をそれぞれQ、Rとする。三角形AQRの面積が最小になるときの角BAPの大きさを求めよ。 どう考えればよいでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • gtmrk
  • ベストアンサー率85% (40/47)
回答No.1

こんばんは 図形の問題ですので色々解法はあると思いますが、 パッと思いついたところでこんな感じでいかがでしょうか? 絵を見て下さい。 P から AB に向かって引いた垂線と、AB との交点を S とします。 Q は P を、AB について対称移動した点なので、 PS = SQ となるように Q を決めます。 同様に、P から AC に向かって引いた垂線と AC との交点を T とし、 PT = TR となるように R を決めます。 すると、【△AQP および △ARP は二等辺三角形】となります。 これは、『二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する』 という定理の逆からです。 ここから直ちに、  (1)  AQ = AP = AR  (2)  ∠QAS = ∠PAS (= ▲ とします)  (3)  ∠RAT = ∠PAT (= ● とします) がわかります。 さて、仮定から  (4)  ▲ + ● = 45° です。(4)の両辺を2倍すると  (5)  2(▲ + ●) = 90° です。ということは、絵を眺めてもらえばわかるとおり、  (6)  2(▲ + ●) = ∠QAR = 90° となり、【△AQR は直角二等辺三角形】であることがわかります。 この面積が最小になるのはどんな場合を考えてみます。   △AQR が最小    ⇔ (AQ * AR) / 2 = (AP^2) / 2 が最小 ((1)式より)    ⇔ AP が最小    ⇔ AP ⊥ BC となり結局、辺 AP と BC が垂直である時に △AQR の面積が最小になるということがわかります。 すなわち、    ⇔ ∠BAP = 20° となります。

colmon
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 図まで載せて頂いてよく分かりました! 感謝いたします。

その他の回答 (1)

  • mizuwa
  • ベストアンサー率66% (32/48)
回答No.2

Q、Rは、点Pを辺AB、辺ACについて対象移動した点なので (1)AP=AQ=AR (2)∠BAP=∠BAQ,∠CAP=∠CAR △AQRについて ・・・∠QAP=2∠BAP+2∠CAP=2∠BAC=90° ・・・AQ=AR 直角二等辺三角形 △AQR=(1/2){AQ*AR}=(1/2)AP^2 ・・・APが最小になるとき△AQRの面積が最小 ・・・APが最小になるときは、AP⊥BC このとき、∠BAP=20°

colmon
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 感謝いたします。

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