中学数学の図形問題で分からない所があります

質問

数学の問題なのですが分かりません

下の図で四角形ＡＢＣＤは長方形、Ｅは辺ＡＢ上の点、Ｆは辺ＢＣの中点である。
また、ＧはＦＤ上の点で、ＥＧ⊥ＦＤ、ＨはＥＣとＦＤとの交点である。
ＡＢ＝１２ｃｍ　、　ＡＤ＝８ｃｍ　、　ＡＥ＝４ｃｍ　である。
線分ＧＤの長さを求めよ。

という問題です。

恐縮ですが
宜しくお願い致します。

回答No.1

CC_T · ベストアンサー

え～っと、中学校ってどこまで習うのでしたっけ？
とりあえず三平方の定理は習いますよね。
直角三角形の場合、直角を構成する２辺の長さをa,b、残る長辺の長さをcとすると、
a^2＋b^2＝c^2
となるってヤツですが。

中学校レベルまでの図形問題ってのは、与えられた条件を全部図に書き込んで
適切な位置に補助線を引けば解法が見えるってものがほとんどです。
ってわけで、質問の図形を見てみましょう。

まず「どうぞ引いてくれ」とばかりに空白になってる部分に補助線EFを引いてみましょう。
与えられた条件からFはBCの中点ですから、線BFの長さはBCの半分の４。
EBの長さはABの１２からAEの４を引いた８。で、長方形のコーナーは全て直角ですから、２つの直角三角形で直角を挟む２辺の長さが同じということは…

はい、三角形BEFと三角形ADEは同じ形、すなわち合同ですね。
よって線EDの長さと線EFの長さは等しい。

で、三角形DEFに注目すると、ED＝EFということは三角形DEFは二等辺三角形ですね。
ついでに、角AED＝角BEF、角ADE＝角BEFですから、三角形の内角の和は180°ってのを思い出すまでもなく角DEFは直角だとわかりますね。
そして直角二等辺三角形DEFの頂点から底辺に垂直に線を下したものがEGってことは、点Gは線分ＦＤの中点ってことです。

さぁ、もうこれで三平方の定理を使ってGDの長さを求められますね？
AD,AEからEDを求め、ED＝EFの関係から更にDFを求め、DGはDFの半分、ということです。

とまぁこんなところでどうでしょうか。

お礼

おおっ！
この問題を解くことが出来ました
どうも有難う御座いました。

回答No.2

CC_T

自己補足。
前の開放の関係が分かっていれば、直角三角形CDFでFDとCDからFDの長さが求められるから、
求めるDGはその半分って計算でもいいですね。

1/2×√｛2×（4^2＋8^2）}
＝1/2×√160
＝1/2×√（4^2＋12^2）

√160は4×4×10ですから、4√10。
ってことで求めるGDの長さは2√10ですね。

お礼

御回答どうも有難う御座います
有難く参考にさせて頂きます。