次の各式が恒等式になるように、定数a,b,cを定めよ

質問

次の各式が恒等式となるように、定数a,b,cの値を定めよ.
x^2=ax(x-1)+bx+c　

これを係数比較法で解きたいのですが、よくわかりません。

参考書の解説には、

x^2=ax(x-1)+bx+c ・・・(1)

(1)の右辺=ax^2+(-a+b)x+c
より、(1)が恒等式となる条件は

{a=1,-a+b=0,c=0
すなわち
{a=1 b=1 c=0　
である。

とだけ書いてるのですが、全然わかりません。
途中計算なるものも含めてこの問題の解き方とこの解説の意味を教えてください。

回答No.3

noname#113212

NO.2のmister_moonlightさんの回答についてですが…

数値代入法で答えを出したあと、わざわざ十分条件であることを
確認していますが、この問題ではその必要はありません。
数学IIの教科書には、「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
等式f(x)=g(x)がn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、
この等式はxについての恒等式であることが知られている」
と書いてあります。
これについての証明は教科書に書いてありませんが、事実として
は教科書に明記されているのでこのことを使っても構いません。
つまり、「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
数値代入法で、n+1個のxの値を代入して答えが出たときは
十分性の確認は不要」と言うことです。
この質問者さんの提示した問題では、mister_moonlightさんは、
「2」次の多項式に対してx=0、x=1、x=-1の「2+1」個
の文字を代入しているので、十分条件であることを確認する
必要はありません。

しかし、次のような問題ではどうでしょう？
「等式：x^2=ax(x-1)+bxが恒等式となるように、
定数a、bの値を求めよ」
この問題の場合、数値代入法で解くと、x=0とすると、b=1、x=-1と
すると、2a=b+1であるから、a=1となる。
しかし、この場合、
「2」次の多項式に対してx=0、x=-1の「2」個の文字しか代入して
いないので、a=1、b=1はx^2=ax(x-1)+bxが恒等式であるための
必要条件にすぎません。したがって、a=1、b=1をx^2=ax(x-1)+bx
に代入して、a=1、b=1はx^2=ax(x-1)+bxが恒等式であるための
十分条件であることを示さなければなりません。

回答No.2

mister_moonlight

＞これを係数比較法で解きたいのですが

恒等式：x^2＝ax^2+(-a+b)x+cにおいて、x＾2の係数について、左辺は1、右辺はaであるからa＝1.
xの係数については、左辺は0、右辺は　b-a、従って、b-a＝0.
定数項については、左辺は0、右辺はc、従って、c＝0
以上から、（a、b、c）＝（1、1、0）。

これを数値代入法でやろう。

恒等式：x^2＝ax^2+(-a+b)x+cにおいてx＝0とすると、c＝0.　x＝1とすると、b＝2a-1.　x＝-1とすると、b＝1であるからa＝1.
しかし、これは高々3個のxの値に対して成立したに過ぎないから、十分条件でもある事を示さねばならない。
ところが、（a、b、c）＝（1、1、0）とすると、左辺＝x^2＝x^2＝右辺となるから、十分条件でもある。

回答No.1

Biofermin

係数比較法というのは、文字通り両辺の係数を比べてみる方法です。

x^2=ax(x-1)+bx+c

これの左辺x^2の係数は、１ですよね。
xの係数は０、定数項も０です。
つまり
x^2　というのは、1・x^2 ＋ 0・x＋0 ・・・（※）と同じですよね。

左辺のax(x-1)+bx+cは、展開して整理するとax^2+(-a+b)x+cです。
これと（※）を比較します。

1・x^2 + 0・x + 0＝ax^2 + (-a+b)x + c

わかりますよね。両辺の係数を比べてみると
a=1,-a+b=0,c=0
つまり、
a=1 b=1 c=0　ということになります。

補足

回答ありがとうございます。
>x^2というのは、1・x^2+0・x+0と同じ
とのことですが、
なぜそうなるのでしょうか。

1・x^2　までは理解できるのですが、それに+0・x+0をつけるのは
同じ形にして係数を比べるため、だからですか？
それとも　x=1xのように省略されているのですか？