恒等式の問題

質問

x^4+ax^3+bx+cはｘ^2+1で割れば2x+1余り、x+1で割れば3余るという。
定数ａ、b、cの値を求めよ。

わからなくて困ってます；誰かわかりやすく回答と解説お願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

＞＞＞どうして、x＝ー１となるのですか？
＞＞＞ｘ＋１で３余るという所がどういう意味なのかわかりません；

そうですか。
二次方程式を考えるとイメージできますよ。

ｘ^2　＋　５ｘ　＋　６
これに　ｘ＝－２　を代入するとゼロになりますよね。

つまり、ｘ＝－２　は
ｘ^2　＋　５ｘ　＋　６　＝　０
の解（のうちの一つ）ですよね。

そして、因数分解をすると、
ｘ^2　＋　５ｘ　＋　６　＝　０
は
（ｘ＋２）（ｘ＋３）　＝　０
と表せますが、左辺は当然、ｘ＋２　で割り切れますよね。

以上のことから、
ｘに－２を代入したらゼロになるということは、
式を因数分解すれば、（ｘ＋２）でくくれるということであり、
それはつまり、ｘ＋２　で割り切れるということです。

回答No.2

alice_44

x+1 で割れば 3 余るということは、与式に x = -1 を代入すれば 3 になるということです。
(-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1) + c = 3 すなわち -a - b + c = 2。　←[1]

また、
x^2+1 で割れば 2x+1 余るということは、与式に x = ±i (虚数単位) を代入すれば
2(±i)+1 (復号同順) になるということです。
(±i)^4 + a(±i)^3 + b(±i) + c = 2(±i)+1 すなわち c ± i(-a + b - 2) = 0。
a, b, c が実数であれば、c = -a + b - 2 = 0 です。　←[2][3]

[1][2][3] を、a, b, c の連立一次方程式として解けば、a = -2, b = 0, c = 0 と解ります。

回答No.1

sanori

こんにちは。

与式　＝　Ｐ（ｘ）　＝　ｘ^4　＋　ａｘ^3　＋　ｂｘ　＋　ｃ

ｘ＋１　で割れば　３　余るということは、与式に　ｘ＝－１　を代入すれば　３　になるということです。
（－１）^4　＋　ａ（－１）^3　＋　ｂ（－１）　＋　ｃ　＝　３
１　－　ａ　－　ｂ　＋　ｃ　＝　３　…（あ）

一方、ｘ^2＋１　で割れば　２ｘ＋１　余るということは、
与式　＝　Ｐ（ｘ）　＝　（ｘ^2　＋　１）（ｘ^2　＋　ｐｘ　＋　ｑ）　＋　２ｘ＋１
計算を進めると、
Ｐ（ｘ）　＝　ｘ^4＋ｐｘ^3＋ｑｘ^2　＋　ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ　＋　２ｘ＋１
　＝　ｘ^4　＋　ｐｘ^3　＋　（ｑ＋１）ｘ^2　＋　（ｐ＋２）ｘ　＋　（ｑ＋１）
これを与式と比較すると、恒等式になるためには、
ｐ＝ａ、　ｑ＋１＝０、　ｐ＋２＝ｂ、　ｑ＋１＝ｃ
なので、
ａ＋２＝ｂ　…（い）
ｃ＝０　…（う）

（あ）、（い）、（う）の連立方程式です。

計算間違いがあるかもしれないので、点検してください。

補足

どうして、x＝ー１となるのですか？
ｘ＋１で３余るという所がどういう意味なのかわかりません；
ものわかりが悪くてすみません(*_*)