二次関数（a、b、cの値を求める）

質問

年末の忙しい時期ですが、教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。

（問題）
二次関数 ｙ ＝ ax^2 + bx + c が上に凸の放物線でx=2を軸とする。1 ≦ x ≦ 5 における最大値が8、最小値が -10 のときのa、b、cの値を求めよ。

回答は a=-2、b=8、c=0 でした。
上に凸なのでaに-がつくようですが、解説がないので、どのような公式を使ったらこうなるのか解らない状態です。数学は苦手なので、そのような私にも解りやすいような説明を頂けたらと思います。

回答No.4

houng · ベストアンサー

上に凸でX=2が軸だとすると最大値の座標は(2,8)です。
また、Xが1～5の範囲とすると2次方程式なので軸から最も遠いところで最小値となります。つまり、(5,-10)の点を通るということです。　絵を書いてみればなんとなくわかると思います。あと、2次方程式は軸に対して対称なのでこの場合、X=-1の時にも-10って点を通ります。(-1,-10)

これらの座標値を代入すると
4a+2b+c=8 (1)
25a+5b+c=-10 (2)
　a- b+c=-10 (3)

(2)-(3) = 24a+6b = 0
b= -4a
(1)-(3) = 3a +3b = 18
a + b = 6
a -4a = 6
a = -2 , b = 8
(3) = -2 -8 + c = -10
= -10 + c = -10
c = 0

　∴　a=-2, b=8, c=0

お礼

こんばんは。
さっそくのお返事ありがとうございます。
本当に解り易い説明で、理解しやすかったです。
最初に自分でも図を描いたりはしてみたのですが、どの点を通るのかは今ひとつ解っていなかったようで・・・。houngさんの指摘通りに再度図も描いてみて納得致しました。
助かりました！

回答No.3

debut

軸が範囲内にあり、しかも上に凸の放物線・最大値が８ということなので
この放物線の頂点は（２，８）であることがわかります。
すると、この関数の式は　ｙ＝ａ(ｘ－２)^2＋８・・（１）と表すことが
できます。
さらに、放物線は軸に対して対称だから、ｘ＝５のとき最小値－10をとる
ことになります。（グラフと範囲を表す線をかいてみてください）
ｘ＝５、ｙ＝－10を（１）に代入して　－10＝９ａ＋８　よりａ＝－２。
これを（１）に代入して展開すると、ｙ＝－２ｘ^2＋８ｘ　となります。
あとはｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ　と係数を比較すればよいです。

ちなみに、
　＜頂点が（ｐ、ｑ）である２次関数の式＞
　　　　ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^2＋ｑ

お礼

こんばんは。
解答ありがとうございました。
そうなんです。二次関数の式は、参考書にもあったので途中までは出来ていたのですが、軸に対して「対称」という事がどのような図になるのか、イメージ出来ていませんでした。
それさえ解れば、代入ですね！

回答No.2

cppl

まず基本変形してください。
そうすると、ｙ=a(x + b/(2a))^2 - b^2/(4a) + c　となります。
ここで軸は x=2 なので -b/(2a) = 2 すなわち 4a=-b…(1)ですね。
ここからは丁寧に図を書いてください。
さらに上に凸の放物線であり、 1≦x≦5 でmax8,　min -10なのでｘ=2のときmax8…(2) また軸が左よりなので図形の対象性と1≦x≦5を考慮するとx=5 のときmin -10…(3)
(1),(2),(3)より解けますよ。
4a=-b
4a+2b+c=8
25a+5b+c=-10
解かり難い説明かもしれませんが、これらを参考に図をかいて解いてみてください。

お礼

こんばんは。
回答ありがとうございます。
図は基本ですね。
参考にさせていただきます。

回答No.1

sasaki626

軸の条件よりｂ＝－４a（軸の公式）
ｘ＝２で最大値８だから
ｙ＝ax^2＋bx＋cに代入（よしきという）
ｘ＝5で最小値ー１０だからよしきに代入する
以上

図をかけばｘ＝１の時か5の時かどっちで
最小になるかはわかるはず。

お礼

こんばんは。
回答ありがとうございます。
軸の公式が解れば、簡単に解けるのですね。
参考になりました。