２次関数の符号がわかりません

質問

「２次関数　y=ax＾2+bx+c(aは0でない)のグラフがある．
　そのグラフの頂点のx,y座標は共に正で，グラフは上に凸である．
a,b,c,b＾-4acの符号を調べよ．」という問題について質問です．

（考え）まず，２次関数y=ax＾2+bx+cを平方完成し，
y=a(x＾2+bx/a)+c
=a(x+b/2a)＾2+c-b＾2/4a

　　　　このグラフが上に凸なのでa＜0
　　　　頂点のx座標が正なので b/2a＜0
　　　　a＜0なので，b＞0
　　　　頂点のy座標が正なので +c-b＾2/4a＞0
　　　　-b＾2/4a＞0
よってc≧0
　　　　b＾2-4ac＞0
こうなると，a,bの符号はわかりますが，cは0か正かわかりません．
どうすれば区別できますか？
（解答にはc:0とあります）

回答No.4

Trick--o-- · ベストアンサー

二次関数 y = ax^2 + bx + c の係数の符号は以下のように考えます
a：グラフが下に凸ならa>0、上に凸ならa<0
b：頂点のx座標が正ならab>0、0ならb=0、負ならab<0
　 または、y切片での接線の傾きのが右下がりならb<0、右上がりならb>0
c：y切片（y軸との交点のy座）が正ならc>0、0ならc=0、負ならc<0
b＾-4ac：頂点のy座標が正なら<0、0なら=0、負なら>0

なので、この問題ではcの符号は求められない。

お礼

ありがとうございます．
y切片でなんとかしてみます．
これからもよろしくお願いします．

回答No.5

Trick--o--

間違えた。
b＾-4acの符号はx軸との交点の数だから、上に凸と下に凸で正負が入れ替わるね。

お礼

ありがとうございます．
そうなのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

Kules

C=0という答えになるとしたら他に条件が必要ですね…
「原点を通る」とか。
それがなければ他の回答者様の言う通りこれだけでcの符号は求まりません。

お礼

ありがとうございます．
この問題はあきらめます．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

rnakamra

>頂点のy座標が正なので +c-b＾2/4a＞0
>　　　　-b＾2/4a＞0
>よってc≧0

最後の式は成り立ちません。
c-b＾2/4a＞0から
c>b^2/4a
であり、a<0であることから右辺は負であるとしかいえません。
ですので左辺の符号は決定できないのです。

他の条件を駆使してもcの符号を求めることはできません。

お礼

ありがとうございます．
やはりcの符号はわからないのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

yskfr

問題がおかしいと思います。
y=-x^2+200x-9999
は上に凸で頂点は(100,1)ですがc<0です。

お礼

ありがとうございます．
何か変なのですね．
これからもよろしくお願いします．