2時間数について

質問

2次関数y=ax+bx+cのグラフが次のようになるとき、定数a,b,cとb-4ac,a+b+cの符号を求めよ。という問題で、答えが正とか負とかになっているんですけど…意味がよく分かりません。ヒントも、軸は、直線x=-b/2a,x=0のときy=c,x=1のときy=a+b+cと、よく分からないので詳しく教えてもらえると助かります。よろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

平方完成の式が、いろいろですね・・・私もしょっちゅう間違えますが。

y = ax^2 + bx + c
= a{x^2 + 2(b/(2a))x + b^2/(4a^2)} - b^2/(4a) + c
　= a( x + b/(2a) )^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)　・・・（１）

まず最初に a の符号を調べてみます。
a ＞ 0 ならばグラフは下に凸な（上に開いた）放物線
a ＜ 0 ならばグラフは上に凸な（下に開いた）放物線
なので、グラフが上に凸か、下に凸かで、a の符号を最初に確かめましょう。

次に b の符号を調べましょう。ｂの符号の調べ方は２通りあります。
一つは、x = 0 における放物線の傾きを調べる方法です。数Ｉの範囲ではありませんが、y = ax^2 + bx + c を微分すると y ’ = 2ax + b ですので、x = 0 のとき y’ = b です。これが、x = 0 における放物線の傾きですので、放物線がy軸と交差する点において、放物線が右上がりならば b ＞ 0、放物線が右下がりならば b ＜ 0 です。
もう一つの方法は、平方完成した式（１）より、放物線（グラフ）の軸が x = - b/(2a) 、つまり、放物線の頂点（とんがったところ）のx座標が - b/(2a) ということを手がかりにします。 a ＞ 0ならx = -b/(2a)でyは最小値、a ＜ 0 なら x = -b/(2a) で y は最大値をとることが（１）式より分かります。ということで、グラフが上に凸か下に凸かと、頂点のx座標によって、次のようにbの符号が分かります。
グラフが下に凸で、頂点のｘ座標が正ならば a ＞ 0 で -b/(2a) ＞ 0 なのでb ＜ 0
グラフが下に凸で、頂点のｘ座標が負ならば a ＞ 0 で -b/(2a) ＜ 0 なのでb ＞ 0
グラフが上に凸で、頂点のｘ座標が正ならば a ＜ 0 で -b/(2a) ＞ 0 なのでb ＞ 0
グラフが上に凸で、頂点のｘ座標が負ならば a ＜ 0 で -b/(2a) ＜ 0 なのでb ＜ 0

ｃ の符号も調べましょう。
x = 0 のとき、y の値を計算すると y = a×0^2 +b×0 + c = c です。従って、y軸と放物線との交点のy座標がｃの値です。放物線とy軸とがy ＞ 0 で交わっていれば c ＞ 0、放物線とy軸とがy ＜ 0 で交わっていれば c ＜ 0 です。

ここまでで、a, b, c それぞれの符号が分かりました。次に a+b+c の符号を調べましょう。もし、a, b, c の符号が同じ符号（ a, b, cが全部正とか、全部負とか）であれば、a+b+c もその符号になることは明らかでしょう。a, b, c の符号が同じでない場合は、放物線の x = 1 におけるy座標が正か負かで a+b+c の符号が分かります。x = 1 のとき、y の値を計算すると、y = a×1^2 + b×1 + c = a + b + c ですので。

最後に b^2-4ac の符号を調べます。b^2-4ac というのはいわゆる判別式と呼ばれる値で、b^2-4ac＞0 ならば放物線はｘ軸と２点で交わり、b^2-4ac＝0ならばｘ軸と１点で接する。そして、b^2-4ac＜0 ならば、放物線はｘ軸とは交わりません。ですから、放物線と x 軸との交点の数を調べれば、b^2-4ac の符号が分かります。
また、（１）式より、x = -b/(2a) のとき yの値は y = - (b^2 - 4ac)/(4a) です。即ち、放物線の頂点のy座標が - (b^2 - 4ac)/(4a) です。ですから先に調べた a の符号と、放物線の頂点のy座標の符号から、b^2-4ac の符号を調べる事もでき、
グラフが下に凸で、頂点のy座標が正ならば a ＞ 0 で -(b^2-4ac)/(4a) ＞ 0 なのでb^2-4ac ＜ 0
グラフが下に凸で、頂点のy座標が負ならば a ＞ 0 で -(b^2-4ac)/(4a) ＜ 0 なのでb^2-4ac ＞ 0
グラフが上に凸で、頂点のy座標が正ならば a ＜ 0 で -(b^2-4ac)/(4a) ＞ 0 なのでb^2-4ac ＞ 0
グラフが上に凸で、頂点のy座標が負ならば a ＜ 0 で -(b^2-4ac)/(4a) ＜ 0 なのでb^2-4ac ＜ 0
となります。これらの組み合わせと、放物線がｘ軸で交わる交点の数とは当然ながら対応しており、a の正負に関わらず b^2-4ac＞0 であれば放物線はx軸と２点で交わり、b^2-4ac ＜ 0 であれば放物線が x 軸と交点を持たないことが分かるでしょう。グラフを書いてみて確認してください。

お礼

長い説明、ありがとうございました。すごく理解しやすかったです。本当にありがとうございました。

回答No.2

sola07

まず、問題文は「y=ax^2+bx+c」（ここにおいてx^2はxの２乗。）
のグラフについてですね。
そして、"b^2-4ac"と"a+b+c"の正負を調べると。
回答としては、まずy=～をy=(x-△)^2の形にします。
y=ax^2+bx+c=a(x^2+bx/a)+c=a(x^2+bx/a+(b/2a)^2)+c-(b/2a)^2
=a(x+b/2a)^2+c-(b/2a)^2
軸の方程式はx=△なので、今回ではx=-b/2aになるわけです。
二次関数の正負については場合分けが必要です。
１）a>0のとき
yは下に凸のグラフ。つまり軸で値が最小。
最小値(min)：c-(b/2a)^2となります。
min>0のとき、y>0から判別式（以下D）=b^2-4ac<0.
つまりc>(b/2a)^2>=0（∵2乗したものはすべて正）
y>0からa+b+c>0.∴a+b+c>0,b^2-4ac<0.
min=0のとき、y>=0からD=0.
つまりc=(b/2a)^2>=0.
ここで、b>=0なら軸がxの負の部分にあるので、これとx=0,y=cからx=1の値は正。（グラフを書いてみるとわかります）
b<0のとき、軸以外ではa+b+c>0確定。また、-b/2a=1→a=-b/2>0より軸とx=1が一致するときもある。∴a+b+c>=0.b^2-4ac=0.
min<0のとき、D>0.また、c<(b/2a)^2.
また、b>=0なら軸がxの負の部分にあるので、x=0の値>=0のとき、x=1の値も正。∴b^2-4ac>0,a+b+c>0.
c<0のとき、…とやっていくわけです。a<0の場合も同様です。
二次関数と書いてあるので、a=0の場合は除いていいです。
すいません、力尽きました。

回答No.1

Meowth

定数a,b,cとb�-4ac,a+b+cの符号を求めよ。
だから答えは
正とか負とか
でしょう。
１とか２だったら怒ります。
y=ax^2+bx+c
だったら、
x=1　でa+b+c
x=0 で　c
y=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/2a
だから　
軸は直線x=-b/2a
でしょう。