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二次方程式の判別式

二次方程式の判別式b^2-4acなのですが、 この判別式はax^2+bx+c=0で、a=0の時は使ってはいけない理由を知りたいです。 成り立たない場合として、 a=0,b=0の時、c=定数という直線グラフで、c=0でない限り「実解なし」なのに(判別式)=0となる場合。 a=0,b>0,c≠0の時、直線グラフはx軸を貫くはずなのに(判別式)<0となる場合。 が思いつくのですが・・・。 「判別式は二次方程式の解の公式の一部だ」というのは結果であって、定義でないように思えるのですが・・・

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二次方程式の定義として,   ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) があるので,a ≠ 0 が大前提です. 逆にa = 0 のときは,上の式は 一次方程式になりますよね. 二次関数と一次関数を考えてみればより分かりやすいかもしれません.  二次関数 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)  一次関数 y = ax + b (a ≠ 0) 二次関数は最大次数が必ず2ですから,a = 0 は許されません. 同様に,一次関数も最大次数が必ず1ですから,a = 0 は許されません. それでも,納得できないならば,判別式を導く過程から振り返ればよく分かるはずです. つまり,   二次関数 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) に対して        y = ax^2 + bx + c         = a(x + b/2a)^2 - b^2/4a + c ←(a ≠ 0より可能)※ よって,頂点のy座標は,   - b^2/4a + c = - (b^2 - 4ac)/4a ・・・(1) a > 0 のときは,下に凸なので  (1)>0 ⇒ 交点なし  (1)=0 ⇒ 接する  (1)<0 ⇒ 異なる2点で交わる a < 0 のときは,上に凸なので  (1)<0 ⇒ 交点なし  (1)=0 ⇒ 接する  (1)>0 ⇒ 異なる2点で交わる という風になっているわけです. a ≠ 0 を認めなければ,※のところで,分母が0になってしまうため,  -b/2a を存在させることができないので使えません! 逆にa = 0 のときは一次関数とx軸との交点について考えているだけで 二次関数とx軸との交点の関係は表していないのです.

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  • 回答No.4
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> 二次方程式の判別式b^2-4acなのですが、 > この判別式はax^2+bx+c=0で、a=0の時は使ってはいけない理由を知りたいです。 D = b^2 - 4acは二次方程式「専用」の判別式だからです。 a = 0(かつb ≠ 0)の時、ax^2 + bx + c = 0は一次方程式になるので「二次方程式専用の判別式」が使えるとは限りません。 どうしてもa = 0の場合に判別式を適用したいのなら、「一次方程式専用の判別式」を使うしかありません。 ただ判別式の定義を考えると、そもそも一次方程式専用の判別式は存在しないと思います。

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  • 回答No.3
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

D = b^2 - 4ac なる値は、ax^2 + bx + c なる式に対応して常に考えられるので、それを定義すること自体はよいでしょう。 しかし、その値が実数根の有無を「判別」するかどうかは別の問題として捉えるべきです。 調べれば更に高階の方程式に対する判別式の定義も知ることができるでしょう。 その時その値は何を「判別」するのか考えるのもよいでしょう。

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  • 回答No.1
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんばんは。 >>> a=0,b=0の時、c=定数という直線グラフで、c=0でない限り「実解なし」なのに(判別式)=0となる場合。 c=定数 というグラフはどういうグラフになるかというと、 x=任意、y=任意 ですから、グラフ用紙を隅から隅まで全部黒く塗りつぶしたグラフになります。 >>> a=0,b>0,c≠0の時、直線グラフはx軸を貫くはずなのに(判別式)<0となる場合。 もしもa=0なら、 D = b^2 - 4ac = b^2 ≧ 0 です。 D < 0 にはなりません。 >>> 「判別式は二次方程式の解の公式の一部だ」というのは結果であって、定義でないように思えるのですが・・・ いえ、結果ではなく定義ですよ。 ax^2 + bx + c = 0 1. a=0、b≠0 ならば、 bx + c = 0 x = -c/b 2. a=0、b=0 ならば、 c = 0 (意味無し) 3.a≠0 ならば、 x^2 + b/a・x + c/a = 0 (x + b/2a)^2 - b^2/4a^2 + c/a = 0 (x + b/2a)^2 = b^2/4a^2 - c/a (x + b/2a)^2 = (b^2-4ac)/4a^2 x + b/2a = ±√{(b^2-4ac)/4a^2} x + b/2a = {√(b^2-4ac)}/2a x = {-b ± √(b^2-4ac)}/2a xが実数であるためには、√(b^2-4ac)が実数でなくてはならない。 以上、ご参考になりましたら。

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質問者からの補足

様々、ご回答ありがとうございます。 大変遅い返事となって申し訳ありません。 実は、コーシー・シュワルツの不等式の証明において2次方程式の判別式を利用するものがあると思うのですが、ラストで( )=0を場合わけをする部分で疑問を感じたもので・・・

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