二次関数

質問

二次関数y=ax²+bx+c…(1)のグラフの頂点の座標が（2,-1）であるとき、次の問いに答えよ。
（１）ｂ、ｃをaで表せ。
（２）(1)の０≦x≦３における最大値が７であるとき、定数a、b、cの値を求めよ。

（1）は、じぶんなりに解いたので間違っていると思います。
　　頂点の座標(2,-1)を代入して、-1=4a+2b+c。
　　これを、aで表して（？）4a=-2b-c-1
a=-1/2b-1/4c-1/4　になりました。

（２）は解法からわかりません。（１）の訂正も含めて、よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(1)y=ax^2+bx+c（ただしa≠0）
=a(x^2+b/a*x)+c
=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c・・・※1
よって頂点は(-b/2a,-b^2/4a+c)
今頂点の座標は(2,-1)だから、
　-b/2a=2 , -b^2/4a+c=-1

これらから、b=-4a , c=4a-1・・・答え・・・※2

　質問者さんのようにそのまま入れてしまうと、式が一つしかできなくなり行き詰ります。
　頂点という情報と(2,-1)という2つの情報があるので、式が2つできるはずと考えます。

(2)※2を※1に代入すると、
　y=a(x-2)^2-1・・・※3
となる。（頂点が(2,-1)と書いてあるから当たり前ですけど、一応入れてみました）
　頂点(2,-1)、軸x=2グラフであることがわかる。
　ここで場合わけ
　i　a＞0のとき、下に凸のグラフになる（添付図参照）
　0≦ｘ≦3においては軸がｘ＝2であるから、この関数の最大値はｘ＝0のときであるとわかる。
　その最大値が7であるから、ｘ＝0、ｙ＝7を※3に代入、
　7=a(0-2)^2-1
∴a=2
　(1)からb=-4*2=-8 , c=4*2-1=7

なぜｘ＝0のとき最大値をとるのかは添付図を見てください。

　ii　a<0のとき、上に凸のグラフになる。
　0≦ｘ≦3のときｘ＝2のとき最大値-1となる。（頂点の部分が最大値になる）
　これは題意と反するので（最大値が7という）、a<0の範囲では求めるaの値はない。

回答No.3

asuncion

おっと失礼。
(2)で、aの場合分けを忘れていました。

回答No.2

asuncion

(1)質問者さんは、「aを、bとcで」表わしています。題意と逆です。
y = ax^2 + bx + c の頂点が(2, －1)であるということは、
頂点が(0, 0)である y=ax^2 のグラフを、(2, －1)へ平行移動した、ということである。
このことから、(1)式は
y = a(x － 2)^2 － 1 と表わせる。
よって、
y = a(x － 2)^2 － 1
=a(x^2 － 4x + 4) － 1
=ax^2 － 4ax + 4a － 1
となり、(1)式と係数を比較して、
b = －4a, c = 4a － 1 となる。

(2)
頂点の座標(2, －1)と、xの変域 0≦x≦3 との関係から、
最大値7をとるのはx=0のときであることがわかる。←なぜこうなるかは、グラフを書いてみてください。
(1)式にx=0を代入して、c=7
4a － 1 = 7 より、a=2
b = －4a より、b=－8
y=2x^2 － 8x + 7