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二次関数

二次関数y=ax²+bx+c…(1)のグラフの頂点の座標が(2,-1)であるとき、次の問いに答えよ。 (1)b、cをaで表せ。 (2)(1)の0≦x≦3における最大値が7であるとき、定数a、b、cの値を求めよ。 (1)は、じぶんなりに解いたので間違っていると思います。   頂点の座標(2,-1)を代入して、-1=4a+2b+c。   これを、aで表して(?)4a=-2b-c-1 a=-1/2b-1/4c-1/4 になりました。 (2)は解法からわかりません。(1)の訂正も含めて、よろしくお願いします。

noname#174212
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  • suko22
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(1)y=ax^2+bx+c(ただしa≠0) =a(x^2+b/a*x)+c =a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c・・・※1 よって頂点は(-b/2a,-b^2/4a+c) 今頂点の座標は(2,-1)だから、  -b/2a=2 , -b^2/4a+c=-1 これらから、b=-4a , c=4a-1・・・答え・・・※2  質問者さんのようにそのまま入れてしまうと、式が一つしかできなくなり行き詰ります。  頂点という情報と(2,-1)という2つの情報があるので、式が2つできるはずと考えます。 (2)※2を※1に代入すると、  y=a(x-2)^2-1・・・※3 となる。(頂点が(2,-1)と書いてあるから当たり前ですけど、一応入れてみました)  頂点(2,-1)、軸x=2グラフであることがわかる。  ここで場合わけ  i a>0のとき、下に凸のグラフになる(添付図参照)  0≦x≦3においては軸がx=2であるから、この関数の最大値はx=0のときであるとわかる。  その最大値が7であるから、x=0、y=7を※3に代入、  7=a(0-2)^2-1 ∴a=2  (1)からb=-4*2=-8 , c=4*2-1=7 なぜx=0のとき最大値をとるのかは添付図を見てください。  ii a<0のとき、上に凸のグラフになる。  0≦x≦3のときx=2のとき最大値-1となる。(頂点の部分が最大値になる)  これは題意と反するので(最大値が7という)、a<0の範囲では求めるaの値はない。

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  • asuncion
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おっと失礼。 (2)で、aの場合分けを忘れていました。

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  • 回答No.2
  • asuncion
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(1)質問者さんは、「aを、bとcで」表わしています。題意と逆です。 y = ax^2 + bx + c の頂点が(2, -1)であるということは、 頂点が(0, 0)である y=ax^2 のグラフを、(2, -1)へ平行移動した、ということである。 このことから、(1)式は y = a(x - 2)^2 - 1 と表わせる。 よって、 y = a(x - 2)^2 - 1 =a(x^2 - 4x + 4) - 1 =ax^2 - 4ax + 4a - 1 となり、(1)式と係数を比較して、 b = -4a, c = 4a - 1 となる。 (2) 頂点の座標(2, -1)と、xの変域 0≦x≦3 との関係から、 最大値7をとるのはx=0のときであることがわかる。←なぜこうなるかは、グラフを書いてみてください。 (1)式にx=0を代入して、c=7 4a - 1 = 7 より、a=2 b = -4a より、b=-8 y=2x^2 - 8x + 7

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