数学・２次式の定符号

質問

(1)ax^2+bx+c>0⇔a>0,D<0
(2)ax^2+bx+c<0⇔a<0,D<0

と書いてありましたが、理解できません。(1)は何とか関数をイメージしてなんとなく理解できました。(2)は関数をイメージしようとしましたが、「ax^2+bx+c<0⇔a<0,D<0」を考えると、上に凸のグラフになります。

ax^2+bx+c<0という条件から上に凸になる理由、ax^2+bx+c>0と言う条件から下に凸のグラフになり理由を教えてください。

回答No.3

s_t_a_

不等号の意味について、ちょっと悩んでらっしゃるのかな、と思いました。僕なりに説明してみますけど、期待はずれだったらスミマセン。

(1)ax^2+bx+c>0
(2)ax^2+bx+c<0

これらの式が意味しているところを考えてみてください。
(1)はax^2+bx+cのグラフが「常に」x軸より上にある
(2)はax^2+bx+cのグラフが「常に」x軸より下にある
ということを意味しています。この「常に」というのがくせもの(？)なのです。

(1)について考えてみます。定義域(xの範囲)の条件がない場合、もしa<0、つまり上に凸だったら、いくら頂点がx軸より上の方にあったとしても、いつかはx軸と交差して、グラフがx軸より下に行ってしまうことがありますよね。なのでa>0です。そして、a>0、つまり下に凸だったとしても、頂点がx軸より下にあれば当然グラフはx軸より下になる部分を持ってしまいます。したがって交点を持たない条件、D<0となるわけです。

(2)について悩んでいらっしゃるようですが、(1)同様に、「常に」ax^2+bx+c<0となるためには、a>0つまり下に凸ではダメなのです。頂点をいくらx軸より下に持っていっても、いつかはx軸より上に伸びていってしまうので。なのでa<0となり、さらに頂点もx軸より下となってD<0となるわけです。

グラフを描いて説明できればいいのですが、あいにくそうもいかず、つたない言葉での説明になってしまいましたが、お分かりいただけたでしょうか？

回答No.2

tatsumi01

D<0 ですから実根はない、つまりx軸とは交点がありません。
したがって、ax^2+bx+c<0 または ax^2+bx+c>0 のどちらかです。

x軸より下にあるなら ax^2+bx+c<0 ですが、このグラフが下に凸になることはありえませんね。下に凸だと無限に大きくなって、いつかは x軸を突破して正になってしまいます。

回答No.1

134

ご質問の意味を捉えかねているかもしれませんケド。

ax^2+bx+c<0が上に凸
ax^2+bx+c>0が下に凸

とは言えません。

上に凸とか、下に凸は、aの符号によります。
また、Ｄにより、２つの実数解、重解、虚数解のいずれかであるということがわかります。