3次方程式 完全立方式

質問

a,b,c,dを実数として、ax^3+bx^2+cx+d=0 (a≠0)・・・・(1)を、(xの整式)^3=定数に変形する解説でわからなくなったので質問します。
(1)の両辺を0で割って、
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0・・・・(2)を、xの整式は2次以上だとその3乗は6次以上 だから、xの整式は1次より、A,Bを実数として、(Ax+B)^3=定数・・・・(3)のかたちにするとき、
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)-(Ax+B)^3=定数の条件で疑問が浮かびました。なぜ二つのxの3乗を含む式の差が定数となるか、明確な理由がわからないのです。
自分は(3)より(Ax+B)^3-定数=0、(2)と右辺が等しいので
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=(Ax+B)^3-定数、
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)-(Ax+B)^3=-定数。 より差が定数で、(1)を(Ax+B)^3=定数に変形するできるかと思いました。でもこれでは最初に予想した定数と符号が逆になってしまうので、理由に自信がありません。
インターネットで調べて、解説したページ https://suu3galois.hatenablog.com/entry/2020/08/17/123844 を読んだのですがよくわかりませんでした。
どなたか、x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)-(Ax+B)^3=定数ならば、(1)を(Ax+B)^3=定数に変形できる理由を教えてください。
二つのxの3乗を含む式の差が定数となる条件は係数を比較し、xを含む項を消すというもので、結局は(1)を(Ax+B)^3=定数にすることはできないと書いてありました。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> でもこれでは最初に予想した定数と符号が逆になってしまう

それで何の不都合があるのですか？最初に「(Ax+B)^3=定数」としたときに「定数」と，二つのxの3乗を含む式の差が定数となるというときの定数が同じではないのです。
最初に「(Ax+B)^3=C」でCは定数とすれば，x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)-(Ax+B)^3=-Cとなりますね。-C=DとすればDも定数でx^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)-(Ax+B)^3=Dです。ちゃんと定数になっています。

お礼

文章と数式で、同じ定数という漢字で書かれているので、同じ数値かと勘違いしてしまいました。勘違いを指摘してくださりありがとうございます。

回答No.2

asuncion

＞(1)の両辺を0で割って、
ここの0はaのことでしょう、というのはさておき

＞x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0・・・・(2)を、xの整式は2次以上だと
＞その3乗は6次以上 だから、xの整式は1次より、A,Bを実数として、
＞(Ax+B)^3=定数・・・・(3)のかたちにするとき、

せっかく3次の係数を1にしたのにわざわざAx+Bを持ち出す
理由が今一つ理解できません。
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=(x+A)^3
の方が簡単になりませんか？

補足

本では回答者のおっしゃる通り、
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)の係数と、(Ax+B)^3=A^3x^3+3A^2Bx^2+3AB^2x+B^3の係数を比較して、x^3の係数はA^3=1よりA=1、x^2の係数は
b/a=3A^2B=3BよりB=b/(3a)として話がすすんでいきます。