確率密度関数おしえてください

質問

Aさんはいつも早朝まで仕事をした後、S駅から帰宅しているが、S駅では、Aさんが帰宅するための電車は、５時１５分を初電として、以降１５分間隔で発車している。Aさんの仕事の都合上、AさんがS駅のホームに到着する時刻は４時００分から６時００分まで一様に分布している。AさんがS駅のホームに到着してから電車が発車するまでの待ち時間をX分とするとき、
(１)Xの確率密度関数をもとめよ

どんな答えになるのか検討もつきません。
わかるかたぜひおしえてください。。。

回答No.3

Ishiwara · ベストアンサー

(1)Ａさんが４時～５時の間に到着の場合だけを考えると、待ち時間は１５分から７５分までの一様分布になります。
(2)Ａさんが５時～６時の間に到着の場合だけを考えると、待ち時間は０分から１５分までの一様分布になります。

(1)と(2)は、待ち時間に重複部分がないので、密度関数をまったく別に考えて、無造作に並べればよい、ということが分かります。つまり、密度関数は０～１５分がフラットで、１５～７５分がフラットです。

さて、今度は、その高さの問題です。到着が４～５時と、５～６時は同じ確率で起こるのですから、２つの部分の面積は同じです。すると待ち時間０～１５の部分は、１５～７５の部分に比べて背が４倍高いことが分かります。

高いほうの高さは、（１／２）／１５＝１／３０であり、
低いほうの高さは、（１／２）／６０＝１／１２０です。
高さの単位は（１／分）です。

「丸投げ」との非難を受けやすいので「考え方」を中心にご説明しました。

お礼

参考にさせていただきました。
ありがとうございました。

回答No.2

slime_beth

考え方は、No.1さんのものでいいはずです。
もしわかりづらければ、まずはわかりやすいところから整理しましょう。

まず、横軸をホームに到着する時刻（4:00～6:00）、縦軸を待ち時間（＝X分）にしたグラフを描いてみてください。

グラフが出来たら、各Xが何回現れるか、数えてください。
　X=0は、何回？ X=1,2, ... ,15,16, ... ,75 は？

これで大体の傾向をつかんでから、確率密度関数がどうなるかを考えてみてはいかがでしょうか。

お礼

参考にさせていただきました。
お礼がおそくなりまして
もうしわけありません。。
ありがとうございました。

回答No.1

jamf0421

なんで始発が5時15分なのに4時に駅に行くのか不思議な人ですが、もし、Aさんが4時から5時15分までの時間で一様な確率で駅に行くのなら待ち時間を横軸にとって、縦軸に確率をとると0分から75分までの間でグラフは水平ですね。
その考えを拡張して、今の例では、4：00-5：00に駅について待つ15分から75分の待ち時間の水平な部分と、5：00－5：15, 5:15-5:30, 5:30-5:45, 5:45-6:00の各時間に到着した時の0分から15分の水平なグラフの寄与の足し合わせの部分のから成りますね。

お礼

参考になりました。
お礼が遅くなってすいません。
ありがとうございました☆