密度関数

質問

X，Yの同時分布は密度関数2exp(-x-y)，0＜x＜y＜∞(その他では0)をもつ。
(a)　このとき、X，Yのそれぞれの周辺分布の密度関数ｆ1(ｘ)，ｆ2(ｙ)および条件X=4のもとでのYの密度関数f(y|X=4)を求めよ。

(b)　同時分布U=X+Y，V=X/Yの密度関数g(u，v）を求めよ。U，Vは独立になるか。

(a)の方は自分で解けました。
(b)の方が分からないのでどなたか教えてください。
答えはg(u，v)=2{e^(-u)}u/(1+v)^2
でU,Vは独立になるようです。

回答No.5

keyguy · ベストアンサー

訂正（カット＆ペースによる間違い）

問題：
確率変数Ｘと確率変数Ｙの同時密度関数をｃ（ｘ，ｙ）としたとき
ｘだけの関数ａ（ｘ）とｙだけの関数ｂ（ｙ）が存在して
ｃ（ｘ，ｙ）＝ａ（ｘ）・ｂ（ｙ）となるならば確率変数Ｘと確率変数Ｙは独立であることを証明せよ。

回答：
Ｘの分布関数をＤ（ｘ）とし密度関数をｄ（ｘ）とし
Ｙの分布関数をＥ（ｘ）とし密度関数をｅ（ｘ）とすると

Ｄ（ｘ）＝∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・ｈ（ｘ－ｕ）
両辺をｘで微分して
ｄ（ｘ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・δ（ｘ－ｕ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ａ（ｕ）・ｂ（ｖ）・δ（ｘ－ｕ）＝
ａ（ｘ）・∫ｂ（ｖ）・ｄｖ＝β・ａ（ｘ）
ただしβは定数でありβ＝∫ｂ（ｖ）・ｄｖである。

Ｅ（ｙ）＝∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・ｈ（ｙ－ｖ）
両辺をｙで微分して
ｅ（ｙ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・δ（ｙ－ｖ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ａ（ｕ）・ｂ（ｖ）・δ（ｙ－ｖ）＝
ｂ（ｙ）・∫ａ（ｕ）・ｄｕ＝α・ｂ（ｙ）
ただしαは定数でありα＝∫ａ（ｕ）・ｄｕである。

ところで
１＝∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）
＝（∫ａ（ｕ）ｄｕ）・（∫ｂ（ｖ）ｄｖ）＝α・β
すなわち
ｃ（ｘ，ｙ）＝ａ（ｘ）・ｂ（ｙ）＝１・ａ（ｘ）・ｂ（ｙ）＝
（α・β）・（ａ（ｘ）・ｂ（ｙ））＝
（α・ａ（ｘ））・（β・ｂ（ｙ））＝ｄ（ｘ）・ｅ（ｙ）
よってＸとＹは独立である。

すなわち当初の問題はｇ（ｕ，ｖ）がｕだけの関数とｖだけの関数の積であればＵとＶは独立といえる。

お礼

何度も丁寧に答えてくださって、本当にありがとうございました。なんとなく分かってきました。

回答No.6

kony0

変数変換、ヤコビアンがキーワードになるのでは？

1. X=UV/(V+1), Y=U/(V+1)

→dX/dU=V/(V+1), dX/dV=U/(V+1)^2
　dY/dU=1/(V+1), dY/dV=-U/(V+1)^2

→|(dXdY)/(dUdV)|=|-U/(V+1)^2|=U/(V+1)^2

2. U,Vの範囲は、0<U<∞, 1<V<∞
　 ・・・これは今回は使わないのですかね？

3. g(u,v) = f(x,y)*|dxdy/dudv|
　 に1.の結果をあてはめればg(u,v)が直ちに導出されます。

お礼

確かに変換率が大事だったかな？
どうもありがとうございました。

回答No.4

keyguy

問題：
確率変数Ｘと確率変数Ｙの同時密度関数をｃ（ｘ，ｙ）としたとき
ｘだけの関数ａ（ｘ）とｙだけの関数ｂ（ｙ）が存在して
ｃ（ｘ，ｙ）＝ａ（ｘ）・ｂ（ｙ）となるならば確率変数Ｘと確率変数Ｙは独立であることを証明せよ。

回答：
Ｘの分布関数をＤ（ｘ）とし密度関数をｄ（ｘ）とし
Ｙの分布関数をＥ（ｘ）とし密度関数をｅ（ｘ）とすると

Ｄ（ｘ）＝∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・ｈ（ｘ－ｕ）
両辺をｘで微分して
ｄ（ｘ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・δ（ｘ－ｕ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ａ（ｕ）・ｂ（ｖ）・δ（ｘ－ｕ）＝
ａ（ｘ）・∫ｂ（ｖ）・ｄｖ＝β・ａ（ｘ）
ただしβは定数でありβ＝∫ｂ（ｖ）・ｄｖである。

Ｅ（ｙ）＝∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・ｈ（ｙ－ｖ）
両辺をｘで微分して
ｅ（ｙ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）・δ（ｙ－ｖ）＝
∫∫ｄｕｄｖ・ａ（ｕ）・ｂ（ｖ）・δ（ｙ－ｖ）＝
ｂ（ｙ）・∫ａ（ｕ）・ｄｕ＝α・ｂ（ｙ）
ただしαは定数でありα＝∫ａ（ｕ）・ｄｕである。

ところで
１＝∫∫ｄｕｄｖ・ｃ（ｕ，ｖ）
＝（∫ａ（ｕ）ｄｕ）・（∫ｂ（ｖ）ｄｖ）＝α・β
すなわち
ｃ（ｘ，ｙ）＝（β・ａ（ｘ））・（α・ｂ（ｙ））
＝（α・β）・（ａ（ｘ）・ｂ（ｙ））＝ａ（ｘ）・ｂ（ｙ）

よってＸとＹは独立である。

すなわち当初の問題はｇ（ｕ，ｖ）がｕだけの関数とｖだけの関数の積であればＵとＶは独立といえる。

回答No.3

keyguy

Ｕの分布関数をＧ０（ｕ）とし密度関数をｇ０（ｕ）とし
Ｖの分布関数をＦ０（ｕ）とし密度関数をｆ１（ｖ）とする。

Ｇ０（ｕ）＝∫∫ｄｘｄｙ・ｆ（ｘ，ｙ）・ｈ（ｕ－ｘ－ｙ）
両辺をｕで微分して
ｇ０（ｕ）＝
∫∫ｄｘｄｙ・ｆ（ｘ，ｙ）・δ（ｕ－ｘ－ｙ）＝
∫ｄｙ・ｆ（ｕ－ｙ，ｙ）＝
２・ｅｘｐ（－ｕ）・∫ｄｙ・ｈ（ｕ－ｙ）・ｈ（２・ｙ－ｕ）＝
２・ｅｘｐ（－ｕ）・ｈ（ｕ）・∫（ｕ／２＜ｙ＜ｕ）ｄｙ＝
ｅｘｐ（－ｕ）・ｕ・ｈ（ｕ）

Ｇ１（ｖ）＝∫∫ｄｘｄｙ・ｆ（ｘ，ｙ）・ｈ（ｖ－ｘ／ｙ）
両辺をｖで微分して
ｇ１（ｖ）＝
∫∫ｄｘｄｙ・ｆ（ｘ，ｙ）・δ（ｖ－ｘ／ｙ）＝
∫∫ｄｘｄｙ・ｆ（ｘ，ｙ）・δ（（ｖ・ｙ－ｘ）／ｙ）＝
∫ｄｙ・｜ｙ｜・ｆ（ｖ・ｙ，ｙ）＝
２・∫ｄｙ・｜ｙ｜・ｅｘｐ（－ｖ・ｙ－ｙ）・ｈ（ｖ・ｙ）・ｈ（ｙ－ｖ・ｙ）＝
２・ｈ（ｖ）・∫（０＜ｙ＜∞）ｄｙ・ｙ・ｅｘｐ（－（ｖ＋１）・ｙ）
＝２／（ｖ＋１）＾２・ｈ（ｖ）

よって
ｇ０（ｕ）＝ｅｘｐ（－ｕ）・ｕ・ｈ（ｕ）
ｇ１（ｖ）＝２／（ｖ＋１）＾２・ｈ（ｖ）

一方１の結果より
ｇ（ｕ，ｖ）＝２・ｅｘｐ（－ｕ）・ｕ／（ｖ＋１）＾２・ｈ（ｕ）・ｈ（ｖ）

よって
ｇ（ｕ，ｖ）＝ｇ０（ｕ）・ｇ１（ｖ）
よってＵとＶは独立。

回答No.2

keyguy

ｆ（ｘ，ｙ）＝２・ｅｘｐ（－ｘ－ｙ）・ｈ（ｘ）・ｈ（ｙ－ｘ）のｈ（ｘ）・ｈ（ｙ－ｘ）は何なのでしょうか？：

ｈ（ｘ）≡１（０＜ｘ）＆ｈ（ｘ）≡０（ｘ＜０）と定義したら（これはヘビサイドの単位ステップ関数）
ｈ（ｘ）・ｈ（ｙ－ｘ）は０＜ｘ＜ｙで１でそれ以外で０になるから
２・ｅｘｐ（－ｘ－ｙ）・ｈ（ｘ）・ｈ（ｙ－ｘ）
は
０＜ｘ＜ｙで２・ｅｘｐ（－ｘ－ｙ）となり
それ以外で０になる。
これは（Ｘ，Ｙ）の同時密度関数ではないのですか？

確率を勉強したことがないので定義については文脈で判断してください。

回答No.1

keyguy

ｆ（ｘ，ｙ）＝２・ｅｘｐ（－ｘ－ｙ）・ｈ（ｘ）・ｈ（ｙ－ｘ）
とすると
（Ｕ，Ｖ）の分布関数は
Ｇ（ｕ，ｖ）＝∫∫ｄｘｄｙ・ｆ（ｘ，ｙ）・ｈ（ｕ－ｘ－ｙ）・ｈ（ｖ－ｘ／ｙ）
両辺をｕで微分した後ｖで微分すれば
ｇ（ｕ，ｖ）
＝∫∫ｄｘｄｙ・ｆ（ｘ，ｙ）・δ（ｕ－ｘ－ｙ）・δ（ｖ－ｘ／ｙ）
＝∫∫ｄｘｄｙ・｜ｙ｜・ｆ（ｘ，ｙ）・δ（ｕ－ｘ－ｙ）・δ（ｖ・ｙ－ｘ）
＝∫ｄｙ・｜ｙ｜・ｆ（ｖ・ｙ，ｙ）・δ（ｕ－ｖ・ｙ－ｙ）
＝∫ｄｙ・｜ｙ｜／｜ｖ＋１｜・ｆ（ｖ・ｙ，ｙ）・δ（ｕ／（ｖ＋１）－ｙ）
＝｜ｕ／（ｖ＋１）｜／｜ｖ＋１｜・ｆ（ｖ・ｕ／（ｖ＋１），ｕ／（ｖ＋１））
＝２・ｅｘｐ（－ｕ）・｜ｕ｜／（ｖ＋１）＾２・ｈ（ｕｖ／（ｖ＋１））・ｈ（（ｕ－ｕｖ）／（ｖ＋１））
＝２・ｅｘｐ（－ｕ）・ｕ／（ｖ＋１）＾２・ｈ（ｕ）・ｈ（ｖ）

補足

回答ありがとうございます！
ただもう少し行間を埋めてもらえないでしょうか？
確率は勉強し始めたばかりなので…。
また
ｆ（ｘ，ｙ）＝２・ｅｘｐ（－ｘ－ｙ）・ｈ（ｘ）・ｈ（ｙ－ｘ）
のｈ（ｘ）・ｈ（ｙ－ｘ）
は何なのでしょうか？