第2可算公理

質問

X,Yが第2可算性を持つ位相空間のとき、X×Yも第2可算性を持つことを示せ。
という問題です。

第2可算性を持つ⇔位相空間が可算集合からなる基を持つ
で定義されています。

更に、
位相空間において、β⊂Oは、任意の開集合がβの要素の和集合で書けるとき、位相Oの基と言います。

証明の方針がいまいち分からないので、どなたかアドバイスもしくは証明をお願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

Xの開基とYの開基の直積から、直積位相の開基を構成するときに、
任意濃度の合併を作るといっても、もとになる開基の直積が可算だから、
合併する開集合の選び出し方が可算通りしかなく、直積位相の開基も可算にしかならない
ということです。

お礼

可算集合であることは直感的に分かりますね。
ありがとうございました。

回答No.2

rinkun

Xの基とYの基の積によってX×Yの基を構成して、それが確かにX×Yの基になっていることを示せば良いのでは?

お礼

ちょっとした回答でしたが、この問題を紐解くキッカケになりました。
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>証明の方針がいまいち分からないので、どなたかアドバイスもしくは証明をお願いします。

特に何も考えるようなことはありません。そのままストレートに証明できます。

お礼

大学数学に触れて日が浅いものですから「そのままストレートに証明できる」と言われてもピンときませんでした。
長い時間考えた今でも完璧に把握できたわけではありません。