線形写像における単射性

質問

「すべての対称式がこの二つの対称式の多項式としてただ一通りに表せる」ということの証明が教科書に載っているのですが、その証明で分からない部分があります。

定理：二変数の多項式環Ｃ(u,v)から対称式をなす環Ｓ(x,y)への写像φを次のように決める。
φ(f(u,v))＝f(x+y,xy)
するとこの写像φは全単射写像になる。

この定理において写像φが単射であることの証明がよくわかりません。

φ(f(u,v))＝0ならf(u,v)であることを示したあと、
　φ(f(u,v))＝φ(g(u,v))
→φ(f(u,v))-φ(g(u,v))＝0
→φ(f(u,v)-g(u,v))＝0
→f(u,v)-g(u,v)＝0
∴f(u,v)＝g(u,v)
となって単射性がわかると教科書に書いてあるのですが、これでなぜ単射性がわかるのでしょうか？教科書やインターネットで調べたのですがわかりませんでした。

わかる人がいれば詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

hatake333 · ベストアンサー

写像fが単射である　
　←→　x1 ≠ x2　⇒　f(x1) ≠ f(x2) (定義)
　←→　f(x1) = f(x2) ⇒　x1 = x2　　(定義の対偶)

なので，写像φに対して，
　　φ(f(u,v))＝φ(g(u,v))　⇒　f(u,v)＝g(u,v)
が示されたので，φは単射です．
つまり，f(u,v),g(u,v)が定義の x1,x2 にあたるわけです．

お礼

f(u,v)とg(u,v)がＣ(u,v)の要素であり、教科書の証明では定義の待遇を示しているのですね。単純なことを難しく考えすぎていたようです。

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>これでなぜ単射性がわかるのでしょうか？
単射の定義そのものです。