線形代数 線形写像に関する質問です
- U,Vをベクトル空間，f:U→V線形写像,u1,u2．‥,un∈Uとする．次を示せ．(1)f(u1),f(u2),…,f(un)∈Vが１次独立の時，u1,u2．‥,un∈Uも１次独立である．
- fは単射とする(すなわち，「x,y∈U,x≠ｙ⇒f(x)≠f(y)」が成り立つ)．この時，u1,u2．‥,un∈Uが１次独立ならばf(u1),f(u2),…,f(un)∈Vも１次独立である．
- 線形代数の線形写像に関する質問です。ベクトル空間UとVにおける線形写像fについての性質を証明する問題です。
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線形代数 線形写像に関する質問です
U,Vをベクトル空間，f:U→V線形写像,u1,u2．‥,un∈Uとする．次を示せ． (1)f(u1),f(u2),…,f(un)∈Vが１次独立の時，u1,u2．‥,un∈Uも１次独立である． (２)fは単射とする(すなわち，「x,y∈U,x≠ｙ⇒f(x)≠f(y)」が成り立つ)． この時，u1,u2．‥,un∈Uが１次独立ならばf(u1),f(u2),…,f(un)∈Vも １次独立である． 注）u,vは太文字（ベクトル）です。u,vの隣の数字は添え字です。 以上の問題です。方針が立たないわけではありませんが、それ以上議論が進められません。どなたかわかる方がいらっしゃったら、回答をお願いします。
- okyarow
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> fが線形写像より、c1f(u1)+……+cnf(un)=0 ⇔ f(c1u1+……+cnun)=0 この式を理解して書いたのなら、1) の証明はこれだけで終わっていますね。 （正確には、← 側の矢印だけで） ※ f(0) = 0 という性質も使う必要があるけど、これは使って良いですよね。 ※ ただし、直接示しているのは、No.2 のヒントにある、「従属⇒従属」です。 > (2)は当然のような気がするのですが、fが単射という条件をどのように使えばよいのでしょうか。 単射という条件は必要です。 たとえば、f(u) = 0 という単射でない線型写像では、u が一次独立でも、f(u) は一次従属です。 逆写像の存在が言えたら、「1) と同じ」と言える気がする。
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- kabaokaba
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NO.2への補足をみたけど・・・・ 何もわかってないよ・・・・ (1)「u1,u2．‥,un∈Uも１次独立である」 をしめすんだったら c1u1+・・・cnun=0ならばc1=・・・=cn=0 を示すのが一次独立の定義 fは線型なんだから f(c1u1+・・・cnun)を計算したらどうなる？ f(u1),f(u2),…,f(un)∈Vが１次独立なんだからすぐわかるでしょ？ (2) c1f(c1)+・・・+cnf(un)=0を仮定して c1=・・・=cn=0 を示せばいいんだけど fが単射なんだから f(v)=0ならばv=0 ということが成り立って u1,u2．‥,un∈Uが1次独立なんだから・・・わかるでしょ？
- Tacosan
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すみません, #5 も 1か所間違えました. 最後の方, c1u1+……+cnun=0 が自明な解を持つかどうかは u1～un を並べてできる行列のランクで分かるものであって とあるのは c1u1+……+cnun=0 が自明でない解を持つかどうかは u1～un を並べてできる行列のランクで分かるものであって の間違いです.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
あ, しまった, #2 への補足への突っ込みを忘れてた. #2 への補足の中で「f を表す行列を T として |T|=0 を示す」という方針を挙げていますが, これはおかしいです. そもそも |T| が何かという問題がありますし, 行列式を表すとしても「T が正方行列ではない」可能性が抜け落ちています. さらに言えば, T が正方行列であっても「行列式が 0 かどうか」は (1) と関係ありません. と書いてから見直してみると「c1u1+……+cnun=0が自明な解をもつのは、|T|=0.」って書いてあるなぁ.... この文章自体おかしいです. 「c1u1+……+cnun=0 が自明な解を持つ」のは当たり前です. だって, この場合の「自明な解」って c1 = c2 = ... = cn = 0 でしょ? もちろん「自明でない解」と直してもおかしいです. c1u1+……+cnun=0 が自明な解を持つかどうかは u1～un を並べてできる行列のランクで分かるものであって, u1～un と直接関係のない T の行列式を見ても無意味です.
- Tacosan
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ん～, それはたぶん困難な方に突っ込んでる気がする (と #3 も指摘してるなぁ). どちらも #2 の「基本方針」に従うのが簡単だと思う.
お礼
ありがとうございました。対偶をとってみることを考えていませんでした。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
方針が立ったのなら、まず、それを補足に書いて どこで詰まったのかを示めそう。 なぜ詰まったのかは、回答者が考えるから、 詰まった様子を、そのまま書いて見せるといい。 丸回答を貰って、それで勉強になるレベルの人は、 教科書に丸々答えが書いてあるような問題を 掲示板で質問したりはしないものだ。 基本方針としては、独立⇒独立 を 従属⇒従属 の 対偶と見るところから…
お礼
ありがとうございました。対偶をとってみることを考えていませんでした。
補足
fが線形写像より、c1f(u1)+……+cnf(un)=0 ⇔ f(c1u1+……+cnun)=0 で、(1)では、 f(c1u1+……+cnun)=0 でc1=……=cn=0が成り立つ. ここで線形写像f(x)=Txを考える（Tは行列）. すると、T(c1u1+……+cnun)=0 でc1=……=cn=0 が成り立つ. c1u1+……+cnun=0が自明な解をもつのは、|T|=0.これを示せばよい. (2)は当然のような気がするのですが、fが単射という条件をどのように使えばよいのでしょうか。
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
>方針が立たないわけではありませんが、それ以上議論が進められません ほんとう？ 方針が立てばそのままつっきれば解ける問題というか 定義をそのままあてはめればいいんだけど． とりあえずその「方針」をきちんと書きましょう． 大学生にもなって丸投げは恥ずかしいでしょ？
お礼
すみませでした。ご指摘ありがとうございます。
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