微分演算子について

質問

微分演算子の問題を解いていたんですが、詰まってしまいました。

1/(1+4/3*D+1/3*D^2) [x^3]
=(1-4/3*D+13/9*D^2+49/27*D^3) [x^3]
の変形がよくわからないです。

本には一行で処理しているのですが、どのような計算をしたんでしょうか？
Taylor展開を使っていると自分では思うんですけど、わかんなかったです。

もう一つ、
1/(D^2-2*D+2) [e^x]=1/(1^2-2+2)[e^x]
にいたっては、検討もつきません。

どちらかでもよろしいので教えていただけないでしょうか？
お手数ですがよろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

1/(1+4/3*D+1/3*D^2) [x^3]
=(1-4/3*D+13/9*D^2+49/27*D^3) [x^3]
は仰るとおりテイラー展開（マクローリン展開）しています。
普通にテイラー展開すると無限個の項がでるはずなんですが、
そもそも、x^3 は４回以上微分すると常に０なんで、D^4 以降は省略してもよいです。

1/(D^2-2*D+2) [e^x]=1/(1^2-2+2)[e^x]
非常に不親切な書き方だと思いますが、これは微分演算子の線形性を利用した計算です。
(D^2-2D+2)[e^x] = (1^2-2+2)e^x
ですから、両辺を(1^2-2+2)で割って（線形性を利用）
(D^2-2D+2)[ 1/(1^2-2+2)e^x ] = e^x
です。両辺を (D^2-2D+2)で割れば
1/(D^2-2*D+2) [e^x] = 1/(1^2-2+2)e^x
ていう式が出てきます。

お礼

丁寧にありがとうございました。
下の方のはすごく簡単に導けて驚きました。
上の方は、多少計算が面倒くさいですが、地道にとくしか
ないようですね。
すごく参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

rabbit_cat

上も、テイラー展開の公式どおりに計算するんではなくて、
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 …
を使うとちょっと楽になります。展開の途中で、D^3までの項だけを考えればいいので
1/(1+4/3*D+1/3*D^2)
= 1/(1+(4/3*D+1/3*D^2))
= 1 - (4/3*D+1/3*D^2) + (4/3*D+1/3*D^2)^2 - (4/3*D+1/3*D^2)^3
= 1 - 4/3*D - 1/3*D^2 + (4/3*D)^2 + 2*(4/3*D)*(1/3*D^2) - (4/3*D)^3
= 1 - 4/3D* + 13/9*D^2 - 40/27*D^3
て感じです。（なんか符号が微妙に違いますが。。）

お礼

なるほど、　D^3までしか計算する必要がなければ、こういう解き方もできるのですか。すごく分かりやすいです。ありがとうございます。
次からは、この解き方でやろうと思います。