微分方程式の演算子法を用いた解法について

質問

微分方程式の演算子法を用いた解法についての質問です。
Y'' + Y = X^2 + 1
を演算子法を用いて解く場合、
(D^2 + 1)*Y = X^2 + 1⇔Y=(D^2 + 1)^(-1) * (X^2+1)
からどのような公式を用いて解けばよいのか、演算子法自体について理解が浅いのもあって分かりません。どなたか教えていただけませんでしょうか。

回答No.3

guuman · ベストアンサー

すぐに作れる公式（覚える必要がない）
Ｄ・ｅｘｐ（ａ・Ｘ）・Ｙ＝ｅｘｐ（ａ・Ｘ）・Ｄ・Ｙ＋ｅｘｐ（ａ・Ｘ）・ａ・ｅｘｐ（ａ・Ｘ）・Ｙ
より
ｅｘｐ（－ａ・Ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（ａ・Ｘ）・Ｙ＝（Ｄ＋ａ）・Ｙ

（Ｄ＾２＋１）・Y＝X^2+1
（Ｄ＋ｉ）・（Ｄ－ｉ）・Ｙ＝X^2+1
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（ｉ・X）・ｅｘｐ（ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝X^2+1
Ｄ・ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝ｅｘｐ（－ｉ・X）・X^2+1
ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝・・・
Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝・・・
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝・・・
Ｙ＝・・・

・・・以降を補足に書け

回答No.8

zenkin

次の順序で解くと、比較的簡単に計算することができました。
(1)左側から逆演算子を作用させて、演算子を右辺に移す。
(2)逆演算子を分母がDの一次式、分子が定数からなる分数の和に展開する。
(3)各分母を指数関数を含む積に展開して計算する。

y = {1/(D^2+1)} (x^2+1)
= {1/(D+j)(D-j)} (x^2+1)
= (j/2) {1/(D+j) - 1/(D-j)} (x^2+1)
= (j/2) {exp(-jx)∫exp(jx)(x^2+1)dx - exp(jx)∫exp(-jx)(x^2+1)dx}
= (0.5*x^2 + jx - 0.5) + (0.5*x^2 - jx - 0.5) +C1*exp(-jx) + C2*exp(jx)
= x^2 -1 + C1*exp(-jx) + C2*exp(jx)
(C1、C2は任意の定数)

回答No.7

Tacosan

#1 は, 結局
1/(1+x) を x の級数に展開して x=D^2 を代入する
ということになります.

回答No.6

zenkin

演算子の部分を因数分解すると、(1)式のようになります。
(D+j)(D-j)y = x^2+1 ------------------------------------- (1)
ここで、jは純虚数の定数です。
一般に、aが定数で、関数f(x)が微分可能な連続関数のとき、(2)式が成立します。
(D+a)f(x) = exp(-ax)・D・exp(ax)・f(x) -------------------- (2)
(2)式を利用すると、(1)式は次のように変形できます。
exp(-jx)・D・exp(2jx)・D・exp(-jx)・y = x^2+1
従って、一般解は次の式を計算することにより求められます。
y = exp(jx)・∫[exp(-2jx)・∫{exp(jx)・(x^2+1)}dx]dx

回答No.5

guuman

（Ｄ＾２＋１）・Y＝X^2+1
（Ｄ＋ｉ）・（Ｄ－ｉ）・Ｙ＝X^2+1
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（ｉ・X）・ｅｘｐ（ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝X^2+1
Ｄ・ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）
ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝∫ｄＸ・ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）
Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝ｅｘｐ（－２・ｉ・X）・∫ｄＸ・ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝∫ｄＸ・ｅｘｐ（－２・ｉ・X）・∫ｄＸ・ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）
Ｙ＝ｅｘｐ（ｉ・X）・∫ｄＸ・ｅｘｐ（－２・ｉ・X）・∫ｄＸ・ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）

なお、∫ｄＸは不定積分なので一回あたり一個の不定定数がさくせいされる。
こうして一般解が直接求まる
Ｙ＝ｅｘｐ（ｉ・X）・∫ｄＸ・ｅｘｐ（－２・ｉ・X）・∫ｄＸ・ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）
にある∫ｄＸをなくして一般解を求め補足に書け

補足

ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝∫ｄＸ・ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）
ここで∫ｅｘｐ（ｉ・X）・（X^2+1）ｄＸ=-i*X^2*e^(iX) + 2*X*e^(iX) + i*e^(ix)より，
Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ=-i*X^2*e^(-iX) + 2*X*e^(-iX) + i*e^(-ix)
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ=∫[-i*X^2*e^(-iX) + 2*X*e^(-iX) + i*e^(-ix)]ｄＸ
∫[-i*X^2*e^(-iX) + 2*X*e^(-iX) + i*e^(-ix)]ｄＸ=X^2 * e^(-ix) - e(-ix)
以上より特殊解は，Y=X^2 - 1
同時方程式の一般解は，C1*cosθ-C2*sinθであるので，求める一般解はそれぞれの和となる．

#1さんから回答いただいた，1/(D^2+1)を実際に計算するというのがまだよくわかりません．

回答No.4

guuman

訂正

（Ｄ＾２＋１）・Y＝X^2+1
（Ｄ＋ｉ）・（Ｄ－ｉ）・Ｙ＝X^2+1
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（ｉ・X）・ｅｘｐ（ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝X^2+1
Ｄ・ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝ｅｘｐ（ｉ・X）・X^2+1
ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝・・・
Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝・・・
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝・・・
Ｙ＝・・・

補足

（Ｄ＾２＋１）・Y＝X^2+1
（Ｄ＋ｉ）・（Ｄ－ｉ）・Ｙ＝X^2+1
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（ｉ・X）・ｅｘｐ（ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝X^2+1
Ｄ・ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝ｅｘｐ（ｉ・X）・(X^2+1)
ｅｘｐ（２・ｉ・X）・Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝(2i)^(-1)*ｅｘｐ（ｉ・X）・(X^2+1)
Ｄ・ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝(2i)^(-1)*ｅｘｐ（-ｉ・X）・(X^2+1)
ｅｘｐ（－ｉ・X）・Ｙ＝D^(-1)*(2i)^(-1)*ｅｘｐ（-ｉ・X）・(X^2+1)
以降，(2i)^(-1)*ｅｘｐ（-ｉ・X）・(X^2+1)を積分し，Ｙを求めると，Y=1/2(X^2-1)-iXとなってしまいます．．

回答No.2

rabbit_cat

普通、演算子法といえば、＃１さんが書かれているように、1/(D^2+1)(X^2+1)を計算する、というものなんですが、
手計算で解く場合は、微分演算子の線形性のみを利用して特殊解を出したほうが早く解けることが多いです。

(D^2 + 1)*Y = X^2 + 1
の特殊解を見つけたいわけですが、とりあえず、右辺にX^2があるので、X^2をいれてみます。
(D^2+1)X^2 = 2 + X^2 = X^2 + 1 + 1 … (1)
次に余分な１を消したいので、１を入れてみます。
(D^2+1)1 = 1 … (2)
というわけで、 (1)-(2)を考えて、
(D^2+1)(X^2-1) = X^2 + 1
で特殊解が見つかります。

この場合は、特殊解が簡単に見つかりましたが、たとえば、
(D+1)X = exp(-X)
とかのばあい、単純に、exp(-X) をいれてみると、exp(-X)の項が消えてしまいます。こういう場合には、exp(-X)にXをかけてみて、Xexp(-X)というのを入れてみるとうまくいきます。

回答No.1

ojisan7

>D^2 + 1)^(-1) * (X^2+1)からどのような公式を用いて解けばよいか
参考書に書いてある通りに解けばよいでしょう。でも、試験の時、公式を忘れてしまえばお手上げですね。
私は、ほとんど公式を覚えない主義です。この場合は、(D^2 + 1)^(-1)の割り算をします。１÷(1+D^2)の計算をするのです。そしてその結果を(X^2+1)に掛けるのです。そうすると不思議なことに、特殊解が求まります。本当かどうか試してください。

お礼

回答ありがとうございます．
実際に１÷(1+D^2)の計算というのはどういう計算なのでしょうか？もう一度教えていただけると嬉しいです．