逆演算子による微分方程式の特殊解について

質問

逆演算子を用いて特殊解を求める問題です。
何度やっても答えが合わないので、解答のプロセスを確認したいです。
（基礎解析学コース　微分方程式　矢野健太郎、石原　繁 共著）の問題です。

(1) (D^2+D-2)y = xexp(-2x)

(2)(D^2-5D+6)y =exp(x)cos(x)

答えは、(1)-1/18 (3x^2 + 2x) exp(-2x)
(2)1/10 (cos(x)-3sin(x))exp(x)
です。
どうしても解けないので、よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura

(1)
(D^2+D-2)y=xe^{-2x}
(D-1)(D+2)y=xe^{-2x}
(D+2)y
={1/(D-1)}xe^{-2x}
=e^x∫e^{-x}xe^{-2x}dx
=e^x∫xe^{-3x}dx
=e^x[-xe^{-3x}/3+∫e^{-3x}/3dx]
=e^x[-xe^{-3x}/3-e^{-3x}/9+c]
=-xe^{-2x}/3-e^{-2x}/9+ce^x

y
={1/(D+2)}[-xe^{-2x}/3-e^{-2x}/9+ce^x]
=e^{-2x}∫e^{2x}[-xe^{-2x}/3-e^{-2x}/9+ce^x]dx
=e^{-2x}∫[-x/3-1/9+ce^{3x}]dx
=e^{-2x}[-x^2/6-x/9+Ae^{3x}+B]
=(-x^2/6-x/9)e^{-2x}+Ae^x+Be^{-2x}
=(-1/18)(3x^2+2x)e^{-2x}+Ae^x+Be^{-2x}
=(-1/18)(3x^2+2x)exp(-2x)+Ae^x+Be^{-2x}

(2)
(D^2-5D+6)y=(e^x)cos(x)
(D-2)(D-3)y=(e^x)cos(x)
(D-3)y
={1/(D-2)}(e^x)cos(x)
=e^{2x}∫e^{-2x}(e^x)cos(x)dx
=e^{2x}∫e^{-x}cos(x)dx
=e^{2x}∫[e^{-x}(e^{ix}+e^{-ix})/2]dx
=e^{2x}∫[(e^{(i-1)x}+e^{-(1+i)x})/2]dx
=e^{2x}([e^{(i-1)x}/(i-1)-e^{-(i+1)x}/(i+1)]/2+c)
=[e^{(i+1)x}/(i-1)-e^{(1-i)x}/(i+1)]/2+ce^{2x}

y
={1/(D-3)}[[e^{(i+1)x}/(i-1)-e^{(1-i)x}/(i+1)]/2+ce^{2x}]
=e^{3x}∫e^{-3x}[[e^{(i+1)x}/(i-1)-e^{(1-i)x}/(i+1)]/2+ce^{2x}]dx
=e^{3x}∫[[e^{(i-2)x}/(i-1)-e^{-(i+2)x}/(i+1)]/2+ce^{-x}]dx
=e^{3x}[[e^{(i-2)x}/{(i-1)(i-2)}+e^{-(i+2)x}/{(i+1)(i+2)}]/2+Ae^{-x}+B]
=[e^{(i+1)x}/{(i-1)(i-2)}+e^{(1-i)x}/{(i+1)(i+2)}]/2+Ae^{2x}+Be^{3x}
=[(i+1)(i+2)e^{(1+i)x}+(i-1)(i-2)e^{(1-i)x}]/20+Ae^{2x}+Be^{3x}
=[(1+3i)e^{(1+i)x}+(1-3i)e^{(1-i)x}]/20+Ae^{2x}+Be^{3x}
=[(1+3i)e^{ix}+(1-3i)e^{-ix}](e^x)/20+Ae^{2x}+Be^{3x}
=[(1+3i)(cosx+isinx)+(1-3i)(cosx-isinx)](e^x)/20+Ae^{2x}+Be^{3x}
=(2cosx-6sinx)(e^x)/20+Ae^{2x}+Be^{3x}
=(cosx-3sinx)(e^x)/10+Ae^{2x}+Be^{3x}
=(1/10)(cosx-3sinx)e^x+Ae^{2x}+Be^{3x}
=(1/10)(cos(x)-3sin(x))exp(x)+Ae^{2x}+Be^{3x}