微分演算子を用いた微分方程式の問題が分かりません。

質問

次の微分方程式が分かりません。

cos(x)*D^(2)*y + sec(x)*D*y + { sec(x)*tan(x) + cos(x) } *y = 2sec^(2)(x)*tan(x)

教科書を何度も見たり、ネットで調べたりもしたのですが、類似した問題が見つからずどうしても解けません。
教えていただければ嬉しいです。

回答No.1

muturajcp

y"cosx+y'secx+y(tanxsecx+cosx)=2tanx(secx)^2
y=pcosxとすると
y'=(pcosx)'=p'cosx-psinx
y"=(pcosx)"=p"cosx-2p'sinx-pcosx
y(tanxsecx+cosx)=p{tanx+(cosx)^2}
y'secx=p'-ptanx
y"cosx=(p"cosx-2p'sinx-pcosx)cosx

y"cosx+y'secx+y(tanxsecx+cosx)
=(p"cosx-2p'sinx-pcosx)cosx+p'-ptanx+p{tanx+(cosx)^2}
=(p"cosx-2p'sinx)cosx+p'
=p"(cosx)^2+p'(1-2sinxcosx)
=p"(cosx)^2+p'{1-sin(2x)}=2tanx(secx)^2

p"+p'{1-sin(2x)}(secx)^2=2tanx(secx)^4
↓両辺に{1+cos(2x)}e^{tanx}をかけると
{1+cos(2x)}e^{tanx}[p"+p'{1-sin(2x)}(secx)^2]=2tanx{1+cos(2x)}e^{tanx}(secx)^4
↓1+cos(2x)=2(cosx)^2だから
[p'{1+cos(2x)}e^{tanx}]'=4(tanx)e^{tanx}(secx)^2
↓両辺を積分すると(C=任意定数)
p'{1+cos(2x)}e^{tanx}=4{(tanx)-1}e^{tanx}+C
↓両辺を{1+cos(2x)}e^{tanx}で割ると
p'=4{(tanx)-1}/{1+cos(2x)}+Ce^{-tanx}/{1+cos(2x)}
↓1+cos(2x)=2(cosx)^2だから
p'=2(tanx-1)(secx)^2+Ce^{-tanx}(secx)^2
↓両辺を積分し,A=-Cとすると(B=任意定数)
p=(tanx)^2-2tanx+Ae^{-tanx}+B
↓両辺にcosxをかけるとy=pcosxだから
∴
y=(sinx){(tanx)-2}+(cosx)(Ae^{-tanx}+B)