インピーダンスの指数関数表示と複素数表示

質問

直列回路で、R=4,Xl=7,Xc=10とするとZ=4+j(7-10),|z|=√(4^2+(7-10)^2）と機械的に覚えていますが、オイラーを使うとXl=7e^(jπ/2),Xc=10e^(-jπ/2)でsin,cosに分けて、結局Xl=j7,Xc=-j10だからなのだ！と教えてもらいましたがZ=R+XL+XC=4+7e^(jπ/2)+10e^(-jπ/2)=4+7e^(jπ/2)+(1/10)e^(jπ/2)=4+7.1e^(jπ/2)=4+j7.1 ???
とか思ってしまうわけです。激しい勘違いですか？？教えて下さい・・

回答No.3

x-nishi · ベストアンサー

#1です。

e^(-jπ/2) = 1/(e^(jπ/2))
ですが、
10e^(-jπ/2) = 1/(10e^(jπ/2))
とはなりません。
10e^(-jπ/2) = 10/(e^(jπ/2))
です。
これを無理矢理変形すると、
10/(e^(jπ/2)) = 10/(cos(π/2) + jsin(π/2))
= 10(cos(π/2) - jsin(π/2)) / (cos(π/2) + jsin(π/2))(cos(π/2) - jsin(π/2))
= 10(cos(π/2) - jsin(π/2)) / (cos^2(π/2) + sin^2(π/2))
= 10(0 - j) / 1
= -10j
となります。

お礼

あーーー！分かりました！！氷解しました！！
おっしゃる通りです。指数関数を勉強し直しですね(汗）
数学て難しいです・・ありがとうございました。

回答No.2

x-nishi

#1です。

間違えてました。

e^(-jπ/2) = cos(-π/2) + jsin(-π/2) = 0 + (-j) = -j

ですね。まあ結果は同じなんですが。
失礼しました。

お礼

早速の回答ありがとうございます。m(_ _)m
e^(-jπ/2) = cos(-π/2) + jsin(-π/2) = 0 + (-j) = -j
はわかるのですが、指数のように扱って
e^(-jπ/2) = (1/e)^(jπ/2)
とはならないのですか？？

回答No.1

x-nishi

4 + 7e^(jπ/2) + 10e^(-jπ/2) = 4 + 7e^(jπ/2) + (1/10)e^(jπ/2)

が間違いです。両辺の第3項は等しくありません。

e^(jπ/2) = cos(π/2) + jsin(π/2) = 0 + j = j
e^(-jπ/2) = cos(π/2) - jsin(π/2) = 0 - j = -j

となります。