交流の問題（複素数表示など）

質問

質問させていただきます

（１）交流電圧v1=Vm1sin(wt-θ1)とv2=Vm2sin(wt-θ2)の和は同じ角周波数
の正弦波になることを導け。

（２）図の交流の瞬時値は複素数表示をし、複素数表示は瞬時値を表す正弦関数で表現せよ。

（３）ある回路に交流電圧E=80＋j60[V]を加えたところ、I=4-j3[A]の電流が流れたという
回路の有効電力、無効電力を求めよ

私の解答

（１）v1＋v2=Vm1sin(wt-θ1)＋Vm2sin(wt-θ2
=Vm1(cosθ1sinwt-sinθ1coswt)＋Vm2(cosθ2sinwt-sinθ2coswt)
=(Vm1cosθ1＋Vm2cosθ2)sinwt-(Vm1sinθ1＋Vm2sinθ2)

a=(Vm1cosθ1＋Vm2cosθ2)
b=(Vm1sinθ1＋Vm2sinθ2)とおけば

v1＋v2=asinwt-bcoswt=Vmsin(wt-θ）

ただしθ＝b/a

解答にはこうかかれているのですが、
asinwt-bcoswt=Vmsin(wt-θ）
となるなるのがいまいちよく分かりません。

(2)さっぱり分かりません・・・
加法定理を使って、オイラーの公式を使うのでしょうか？

(3)複素電力Pを求めるために、EとIを偏角φ用いて表す。

E=80＋j60は
tanφ=3/4になってしまい
ラジアンに変換できません・・・
どうしたらいいでしょうか？

質問だらけで申し訳ないのですが、詳細な解答よろしくお願いいたします

回答No.3

foobar

#1です。
(3)訂正。（この部分、ご質問の回答の部分しか見てませんでした、、。）

#2さん回答にあるように、
（電圧や電流の複素表示が実効値を元にしていれば、）P=(Eの複素共役）＊Iで複素電力を計算してやれば、複素電力の実部が有効電力、虚部が無効電力になります。

(3)で、複素電力扱うなら、複素表記も実効値を元にしたもののほうがよいかも。（#1で、Iexp(jωt)の実部がiの瞬時値、というところを√2Iexp(jωt)の実部がiの瞬時値、に読みかえてもらって、以降√2をつけてもらえうと。）

回答No.2

rnakamra

(1)
>v1＋v2=asinwt-bcoswt=Vmsin(wt-θ）
>ただしθ＝b/a
>解答にはこうかかれているのですが、
>asinwt-bcoswt=Vmsin(wt-θ）
>となるなるのがいまいちよく分かりません。

これは三角関数の合成を行っています。
Vm=(a^2+b^2)^0.5 θ=arctan(b/a)
となります。"三角関数　合成"で検索すれば出てくるはずです。

(2)
交流電流の複素数表示は電流の実効値をI,基準となる正弦波(通常は電源の電圧)からの位相のズレをδとすると
I*e^(jδ)=Icosδ+j*Isinδ
とする表し方です。
たとえば、(1)では、位相のズレは(-π/3),電流の実効値は10/√2=5√2ですから、複素数表示は
(5√2)*e^(-j*π/3)=(5√2)cos(-π/3)+j(5√2)sin(-π/3)
(以下略)
となります。電圧も同様。

複素数表示から瞬間値表示をするには、ピークの電圧(実効値の√2倍)と位相のズレを計算すればよい。

(3)
これはちょっとしたテクニックがあります。
電圧の複素数表示の複素共役と電流の複素数表示を掛け合わせる方法です。
以下のところで一度答えてるのでそちらを見てください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5044388.html

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5044388.html

回答No.1

foobar

1. asinwt-bcoswt=Vmsin(wt-θ）
ご質問で、(1)の回答の１行目右辺第一項から二行目第一項に展開するのと逆の計算プロセスです。(θ=tan^(-1)(a/b)では？）

2.
（細かいことをいうと、複素数表記（というかベクトル表記）したときに大きさとして最大値を使う方式と実効値を使う方式の二通りあります。どちらを使うかは、授業で使っている方にあわせてもらうとして、とりあえず、最大値を使うほうで説明します。）
電流（や電圧）の瞬時値を回転するベクトル I*exp(jωt)の実数部（実軸へ投影した部分）とみなします。
（実効値使って表記する場合には、Iの前に√2がつきます。また、人（や教科書）によっては、虚部をとる場合もあります。どちらを使っているかは、要確認です。）
I=Ireal+jIimag とすると、Real[I*exp(jωt)]=Ireal*cos(ωt)-Iimag*sin(ωt)になるので、1や2を展開して、この式に当てはめてIreal,Iimagを求めれば、複素数表記のIを計算できます。
3は逆に最初にEreal,Eimagがわかっているので、これから瞬時値を計算できます。

3.
そのままφ=arctan()としておくしか無さそうにおもいます。