部分積分とParsevaの等式

質問

f∈C^3
g∈C^2

f(0)=f(h)=f´´(０）=ｆ´´(h)=0
g(0)=g(h)=0とする

このときAn=∫f(x)sin(nπx/h)dx (0からhまで)
Bn=∫g(x)sin(nπx/h)dx (0からhまで)

はΣn^2|An|<∞　　Σn|Bn|<∞を満たすことを示せ

おそらく部分積分とParsevalの等式を使うと思うのですが
導き方がわかりません。どなたかご教授いただけませんか？

回答No.1

Mr_Holland

タイトルを変えて同じ内容で質問されるぐらいですので、さぞお困りなのでしょう。
　私も解けたわけではないのですが、いくらか考えてみたことがありますので、いささかなりとも参考になればと思い、ここに記させていただくことにします。

　問題の条件で部分積分を繰り返していくと、AnとBnは次のようになります。（わざわざ問題で「f∈C^3 、g∈C^2、f(0)=f(h)=f´´(０）=ｆ´´(h)=0、g(0)=g(h)=0」を条件としていることは、この部分積分を意識していると思っています。）

　　An＝-(h/nπ)^3 ∫f'''(x)cos(nπx/h)dx　（積分範囲:x=0→h)
　　Bn＝-(h/nπ)^2 ∫g''(x)sin(nπx/h)dx　　(積分範囲:x=0→h)

　これらを問題とする無限級数の式に入れますと、

　　Σn^2|An|＝(h/π)^3 Σ(1/n)|∫f'''(x)cos(nπx/h)dx|　（積分範囲:x=0→h)
　　Σn|Bn|＝(h/π)^2 Σ(1/n)|∫g''(x)sin(nπx/h)dx|　　　(積分範囲:x=0→h)

となり、Σの中身がｎに関して似た形に変形できます。
　さて、ここまで来て私も行き詰っているのですが、次のことから突破口が開かれないかと考えています。

１）　これらの絶対値記号の中身は、積分区間がｘ＝０→２ｈであれば、それぞれ　f'''(x) のフーリエ余弦係数、g''(x)のフーリエ正弦係数になっている。

２）　積分可能な関数のフーリエ係数はｎ→∞で０に収束する。つまり、ｎ→∞で、

　　∫f'''(x)cos(nπx/h)dx　→０　(積分範囲:x=0→2h)
　　∫g''(x)sin(nπx/h)dx　 →０　(積分範囲:x=0→2h)

が成り立つ。
　さらに、フーリエ正弦係数については、
　　[n=1→∞]Σ(1/n)∫g''(x)sin(nπx/h)dx　 →０　(積分範囲:x=0→2h)
が成り立つ。
　（これらの収束関係は、フーリエ級数の収束条件と関連しているようですが、よく理解していません。）

３）　無限級数　[n=1→∞]Σ1/n^r＝ζ(r)　は、ｒ＞１　のときに収束する。
　⇒　絶対値記号の中身が　α/n^(r-1) (ただし、r>1,α：正の比例係数) より小さいことが言えれば、問題の無限級数の収束が言える。

　といった具合です。
　Parsevalの等式との関係が掴めない状況ですが、フーリエ係数の収束条件について理解していれば、ひょっとしたら解けるのではないかと考えています。

　どなたか詳しい方の回答がつくといいですね。
　幾分かでも参考に、あるいは露払いにでもなれば幸いです。