積分定数Cのが無い状態で成り立つ等式にてです。

質問

∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)+C（Cはある定数）は成り立ちますが、なんで画像のように積分定数：C無しで
∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)
が成り立っているんですか？

回答No.1

noname#201356 · ベストアンサー

それは
∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)
という意味ではなくて、右辺の２項目に
∫f’(x)g(x)dx
という不定積分が残ったままだから積分定数の帳尻は合ってるんです。
奇妙にみえるかもしれませんが、1行目の∫f’(x)g(x)dxの中にある積分定数と2行目の∫f’(x)g(x)dxの中にある積分定数は同じとは限らないということ。

見た目が同じなのに中身が違うって奇妙だと思いませんか？

不定積分を使って表現されたその本の書き方は上で説明したようにあまり好ましくないので、定積分での形を覚えるようにしましょう。

お礼

ありがとうございます。
理屈付けは見事にされていて納得出来ました(^^♪

回答No.3

noname#212313

>なんで画像のように積分定数：C無しで∫｛f(x)g(x)｝’dx=f(ｘ)g(ｘ)が成り立っているんですか？

　先ほどのご質問で、何を疑問に思われたのか、ようやく分かったような気がします。以下、ちょっとややこしいのですが、ご容赦ください。

　画像に見えている部分にちょっと番号を振って書きだすと、

∫f(x)g'(x)
=∫{f(x)g(x)}'dx - ∫f'(x)g(x)dx　―(1)
=f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx　―(2)

ですね。

　ちょっと分かりにくいかもしれませんが、この式から分かるのは、「∫{f(x)g(x)}'dx - ∫f'(x)g(x)dx」と「f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx」が等しいということは確かですが、「∫{f(x)g(x)}'dx」と「f(x)g(x)」が等しいことは保証していません。

　しかし、「(1)の∫f'(x)g(x)dxと、(2)の∫f'(x)g(x)dxは同じなんだから」という感じがします。確かにそうです。「∫f'(x)g(x)dx=∫f'(x)g(x)dx」でないなんてことはあり得ません。

　そうではありながら、∫f'(x)g(x)dxは不定積分ですから、計算すれば積分定数が出てきます。そして、積分定数はどんな値でもよいのでした。(1)の∫{f(x)g(x)}'dxも不定積分んですから積分定数が出てきて、

　∫{f(x)g(x)}'dx=f(x)g(x)+C

です。すると、(2)は、

=f(x)g(x) + C - ∫f'(x)g(x)dx　―(2')

であるべきでしょう。ところが、∫f'(x)g(x)dxは不定積分のまま書いてあります。ということは、ここも積分定数が出てきます。「∫f'(x)g(x)dx=h(x) + C'」のようになるということですね（h(x)は不定積分を計算して出てきた関数だと思ってください）。

　ということは、以下のようになるということになります。

　f(x)g(x) + C - h(x) - C'
＝f(x)g(x) - h(x) + (C - C')

　CもC'も積分定数ですから、どういう値でもいい定数なのでした。ということは、C - C'はひとまとめにしてC''とでも書いておけばいいということになります。

　さらに、そのC''だってどんな値でもいい定数ですから、は(2)の、まだ計算していない「∫f'(x)g(x)dx」に含まれていると考えてしまってもいいわけです。

　そういう風にして、お示しの教科書の数式になります。積分定数を不定積分するごとに増やしていってもいいのですが、不定積分が一つでも式の中に残っていれば、省略してしまうこともできるというわけです。

お礼

ありがとうございますっ！
後ろから読むと理解が早かったです。
＞不定積分が一つでも式の中に残っていれば、省略してしまうこともできるというわけです。
しっくりきました(^^♪

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

私見ですけど、本来積分で出てくる x は束縛変数なので消えてしまうはず。
なのに生き残っているのは、

一説に 不定積分　∫f(x)dx は dF(x)/dt　= f(x)
の解集合を表すから、ということらしいです。だから本来 積分定数が付くのが正しい。

ただ定積分を不定積分を使って計算するとき、 F(b)-F(a) で定数部分は消えてしまう運命にあるので、
定数項はわざわざ書かず省略することがあるということのようです。

お礼

ありがとうございます。大学レベル？の内容はよく分からないです＞＜
＞ただ定積分を不定積分を使って計算するとき、 F(b)-F(a) で定数部分は消えてしまう運命にあるので、
定数項はわざわざ書かず省略することがあるということのようです

ーCはCと表しますが、Cが沢山あるとややこしいから一つにしようとしたという事ですね。