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部分積分の疑問

部分積分とは、部分的に積分するものですよね。全体を積分しなくてもいいんでしょうか。 { f( x )g( x ) } ′ = f ' ( x )g( x )+f( x ) g ' ( x ) の両辺を積分し,式を整理すると, ∫ { f( x )g( x ) } ' dx =∫ { f ' ( x )g( x )+f( x ) g ' ( x ) }dx f( x )g( x )=∫ f ' ( x )g( x ) dx+∫f( x ) g ' ( x )dx ∫f( x ) g ' ( x )dx =f( x )g( x )-∫f ' ( x )g( x ) dx となり,部分積分法の公式が求まる。 とあるのですが、f( x )g( x )を求めなくてはいけないのでは、と思ってしまうのですが。

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  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

「部分積分」というネーミングが悪いんでしょうね。 だから、あらぬ妄想が膨らんでしまうのでしょう。 ∫f(x)g'(x)dx を計算するために、まず、右辺第一項の f(x)g(x) を書き出した時点では、確かに、被積分関数の一部 g(x) だけを積分したかのように見えないこともありません。 しかし、何も、∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) という訳ではなくて、 右辺が f(x)g(x) だけでは合わない分を、-∫f'(x)g(x) で 後からちゃんと補正しています。 それで補正できる根拠が、貴方も書いている「積の微分法」です。 積の微分公式の両辺を積分した際に、全ての項を微分したことは、 質問文中の計算にもあるとおりです。それを、移項しただけですからね。 「部分積分と、積の微分公式によるその補正法」と命名してあったなら、 貴方の疑問は、生じなかったのかも知れません。 授業中に舌を噛む数学教師が、多発したことでしょうがね。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。まだわからないですが。

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その他の回答 (5)

  • 回答No.6
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

「見通しをたててそれからはどうなるんでしょうか。」って, 当然 見通しに沿って処理を進める だけ. 普通は処理をするために見通しをたてるんでしょ? あと, せめて「どこが/何がわからないのか」くらいは書けない?

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質問者からのお礼

ご回答のご説明が分からないのです。 人に対して、ですます体で話せませんか? 部分積分ができてもこういう言い方はダメですね。

  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

>まだわからないですが。 質問そのものも、何が解らないのかを説明しようとしない横着なものですが、 補足は、更に無精ですね。貴方の解らない部分を、ノーヒントで当てろと?

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質問者からのお礼

私の理解力が悪くてすみませんでした。未だにわからないので正直に言ったまでです。

  • 回答No.3
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

#2です。 A#2の補足について >>f(x)はそのまま使います。これってなぜなんでしょう。 f(x)は、公式の左辺に書いてあっても、右辺に書いてあっても、同じf(x)だからです。 ただそれだけの単純なことです。深く考える必要なんかないよ。 疑問に思うこと自体、どうかしてると思うよ。頭を冷やせば分かるかと思います。 f(x)はf(x)です。それ以上深く考えない!!

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。まだわからないです。

  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

> f( x )g( x )を求めなくてはいけないのでは、 >∫f( x ) g ' ( x )dx =f( x )g( x )-∫f ' ( x )g( x ) dx f( x )g( x )を求めるのではなく g'(x)の原始関数g(x)(つまり、∫g'(x)dx=g(x))を求めればいいです。 f(x)はそのまま使います。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 >f(x)はそのまま使います。これってなぜなんでしょう。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

もちろん f(x)g(x) を求める必要はあります. ただ, それは被積分関数である「f(x)g'(x) 全体」を積分したものではなく, 被積分関数の一部分 g'(x) を積分することによって求まります. 実用的には ・g'(x) の部分がきちんと積分できるようにする ・結局 f'(x)g(x) の積分は残ってしまうので, これが積分できるようにする といった見通しを立てておく必要があります.

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。見通しをたててそれからはどうなるんでしょうか。

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