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位相について
距離化可能で可分な位相空間は第2可算公理を満足するというのがイマイチ ピンとこないのですが、どなたか分かる方いらっしゃいませんでしょうか?? ヒントでもいいので教えてください。 後、同様に位相のことなのですが、Rは通常の位相に関して可分であると いうのもよく分かりません。どうか、よろしくお願いします。
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この事実についてはどのような本で知ったのでしょうか。基本的な位相数学の 教科書なら証明も書いてあると思いますが。また2つ目の質問は通常の位相数学の 教科書なら必ず例が載っていると思いますが。 とりあえず証明を 距離化可能で可分な位相空間をXとします。距離化可能ですから最初からXは距離空間 と考えて構いません。そこで、各点x∈X の近傍U_ε (x)は U_ε(x) = { y ∈ X : | x - y | < ε, ε> 0 } と書けます。 Xが可分と言うのは、Xのある可算集合で稠密なものがとれるということです。 このような集合をAとします。Aは可算なのでA={a_i }(i= 1,2,3 …)と書けます。 このとき各a_i を中心とする半径 1/mの開球 U_(1/m) ( a_i)全体の集合 S={ U_(1/m) ( a_i) : i,m は自然数 } が第二可算公理を満たします。以下はそのことを証明します。 Sが可算集合であることは自明ですね。さらにSがXの開基であることを言う必要が ありますがそれはXの任意の開集合の任意の点 x に対して、x を含み、その開集合に 含まれるようなSの要素が存在することをいえば良いのです。 さて任意の開集合O⊂X をとり、x ∈ O を一つ選びます。Oは開集合ですから、 x の近傍でOに含まれるものをとることが出来ます。 先に書いたように x の任意の近傍は、ある正数εにより x から距離ε以下の点の集合 U_ε(x) として表せます。そこでいま U_ε(x) ⊂ O とします。 次に 1/n < ε/2 となるような n を選びます。A は稠密ですから、Aの中から x との距離が 1/n 未満であるような点 a_j をとることが出来ます。すなわち |x - a_j | < 1/n です。このとき a_j を中心とする半径 1/n の開球 U_(1/n) ( a_i) はxを含んでおりかつ U_ε(x)に含まれます。 x ∈ U_(1/n) ( a_i) ⊂ U_ε(x) ⊂ O そして U_(1/n) ( a_i) ∈ S ですから SがXの開基であることが示せました。 ■ 2つめについては有理数全体の集合Qが可算集合でありRの中で稠密であることを 思い出していただければすぐわかると思います。 わかりにくければ補足質問をして下さい。
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- stomachman
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うわ。位相線形空間ですね。この世界って、どっぷり浸かるとトリップしますよね。 ええと、 ●距離化可能ってのは、位相線形空間の位相をノルムで与えることが出来るという意味。 ●寡聞にして「可分」て知りませんが、たぶん「分離可能」の事。1点からなる集合が閉である空間の事で、つまり∩{零要素の全ての近傍} が零要素以外の点を含まない。(そうじゃないのを考える方がしんどくないです?) ●第二可算公理てのは、可算基底を持つ位相空間のこと。高々可算個の開集合からなる基底が存在するってこと。 ●基底ってのは開集合の集合であって、全ての開集合を基底の要素の(無限)合併集合として表せるようなもの。 そして、距離空間の場合「可算基底を持つ⇔至る所稠密な可算集合が存在する」ですよね。だから「分離可能→至る所稠密な可算集合が存在する」を示せば良いわけです。で、どうするんだろ。 これじゃあヒントもになってへんがな..... やっぱりゴールデンスタンダードはコルモゴロフ,フォーミン「函数解析の基礎」じゃないでしょうか。どうもいーかげんですいません。
お礼
ほんと、トリップしている状態です・・(苦笑) ありがとうございます。参考になります。 (ぜんぜんいいかげんではありませんよ!) もう1度勉強やり直さなければ・・と日々感じております。 ああ、頭が良くなりたい・・。
お礼
ほんと、丁寧な説明を頂きまして感謝しております。 (うちの先生よりも分かりやすい・・) ありがとうございました。 これは、内田先生といった方が書かれた参考書を勉強していて、問題を 見つけたのですが、解答がかなり簡易で私のおつむでは全く理解が出来 なかったのです。これはかなり良い本とうちの先生は言っていたのですが、 そうなのですか??ちょっと疑問・・。 2つめに関しても、ちょっと出来そうな感じ(?)がしてきました。 とにかく、やってみます。 本当にありがとうございました。