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位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方い

位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方いましたら、一問でもいいので、教えてくださると助かります…! 次の各集合が開集合あるいは閉集合いずれであるか判定せよ。 (1) (1,4)U{5}(Rの部分集合として) (2) {( x , y )∈R^2 ; 3 < x + y , x^2 > y}(R^2の部分集合として) (3) {( x , y , z )∈R^3 ; x^2 + y^2 + z^2≦ 1}(R^3の部分集合として)

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(1) S=(1,4)∪{5}={x;1<x<4,又はx=5} とする 5∈S Sを開と仮定すると あるε>0が存在して |x-5|<ε となる任意のxに対して x∈S となるから x=5+ε/2 とすると |x-5|=|5+ε/2-5|=ε/2<εだからx∈S 一方 1<4<5<x=5+ε/2<5+ε だから x∈R-S だから x∈Sに矛盾するから S=(1,4)∪{5}は開でない 1∈R-S R-Sを開と仮定すると あるε(0<ε<1)が存在して |x-1|<ε となる任意のxに対して x∈R-S となる x=1+ε/2 とすると |x-1|=|1+ε/2-1|=ε/2<εだからx∈R-S 一方 1<x=1+ε/2<4 だから x=1+ε/2∈S だからx∈R-Sに矛盾するから R-Sは開でないから S=(1,4)∪{5}は閉でない (1,4)∪{5}は開、閉いずれでもない (2) S={(x,y)∈R^2;3<x+y,x^2>y} (a,b)∈S とすると a+b>3 a+b-3>0 a^2>b a^2-b>0 だから ε'=min{(a+b-3)/4,(a^2-b)/4,1} ε=ε'/(2|a|+1) |x-a|<ε |y-b|<ε とすると a-ε<a-(a+b-3)/4=(3a-b+3)/4<x b-ε<b-(a+b-3)/4=(3b-a+3)/4<y 3<(a+b+3)/2<x+y だから 3<x+y |a|-ε<|x|<|a|+ε |x^2-a^2|=|x-a||x+a|<ε(2|a|+ε)=ε'(2|a|+ε)/(2|a|+1)≦ε' |x^2-a^2|<ε' 0<ε+ε'<a^2-b y<b+ε<a^2-ε'<x^2 だから y<x^2 3<x+y,x^2>y だから (x,y)∈S だから S= {(x,y)∈R^2;3<x+y,x^2>y} は開 (3) S={(x,y,z)∈R^3;x^2+y^2+z^2≦1} A=(a,b,c)∈R^3-S |A|=√(a^2+b^2+c^2)>1 ε=(|A|-1)/2 X=(x,y,z)∈R^3 |X|=√(x^2+y^2+z^2) |X-A|=√{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}<ε とすると |X|+|X-A|≧|A| だから √(x^2+y^2+z^2) =|X| ≧|A|-|X-A| >|A|-ε =|A|-(|A|-1)/2 =(|A|+1)/2>1 だから x^2+y^2+z^2>1 だから (x,y,z)∈R^3-S だから R^3-Sは開 だから S= {(x,y,z)∈R^3;x^2+y^2+z^2≦1} は閉

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  • 回答No.1
  • tmpname
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一度どこまで分かって、どこから分からないか、ご自身の解答を補足に書いてください。さすがにこの問題は一度自分で考えてもらいたい。

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