位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方い

質問

位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方いましたら、一問でもいいので、教えてくださると助かります…！

次の各集合が開集合あるいは閉集合いずれであるか判定せよ。
(1) (1,4)U｛5｝(Rの部分集合として)
(2) ｛( x , y )∈R^2 ; 3 < x + y , x^2 > y｝(R^2の部分集合として)
(3) ｛( x , y , z )∈R^3 ; x^2 + y^2 + z^2≦ 1｝(R^3の部分集合として)

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
S=(1,4)∪{5}={x;1<x<4,又はx=5}
とする
5∈S
Sを開と仮定すると
あるε>0が存在して
|x-5|<ε
となる任意のxに対して
x∈S
となるから
x=5+ε/2
とすると
|x-5|=|5+ε/2-5|=ε/2<εだからx∈S
一方
1<4<5<x=5+ε/2<5+ε
だから
x∈R-S
だから
x∈Sに矛盾するから
S=(1,4)∪{5}は開でない

1∈R-S
R-Sを開と仮定すると
あるε(0<ε<1)が存在して
|x-1|<ε
となる任意のxに対して
x∈R-S
となる
x=1+ε/2
とすると
|x-1|=|1+ε/2-1|=ε/2<εだからx∈R-S
一方
1<x=1+ε/2<4
だから
x=1+ε/2∈S
だからx∈R-Sに矛盾するから
R-Sは開でないから
S=(1,4)∪{5}は閉でない

(1,4)∪{5}は開、閉いずれでもない

(2)
S={(x,y)∈R^2;3<x+y,x^2>y}
(a,b)∈S
とすると
a+b>3
a+b-3>0
a^2>b
a^2-b>0
だから
ε'=min{(a+b-3)/4,(a^2-b)/4,1}
ε=ε'/(2|a|+1)
|x-a|<ε
|y-b|<ε
とすると
a-ε<a-(a+b-3)/4=(3a-b+3)/4<x
b-ε<b-(a+b-3)/4=(3b-a+3)/4<y
3<(a+b+3)/2<x+y
だから
3<x+y

|a|-ε<|x|<|a|+ε
|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<ε(2|a|+ε)=ε'(2|a|+ε)/(2|a|+1)≦ε'
|x^2-a^2|<ε'
0<ε+ε'<a^2-b
y<b+ε<a^2-ε'<x^2
だから
y<x^2

3<x+y,x^2>y
だから
(x,y)∈S
だから
S=
{(x,y)∈R^2;3<x+y,x^2>y}
は開

(3)
S={(x,y,z)∈R^3;x^2+y^2+z^2≦1}
A=(a,b,c)∈R^3-S
|A|=√(a^2+b^2+c^2)>1
ε=(|A|-1)/2
X=(x,y,z)∈R^3
|X|=√(x^2+y^2+z^2)
|X-A|=√{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}<ε
とすると
|X|+|X-A|≧|A|
だから
√(x^2+y^2+z^2)
=|X|
≧|A|-|X-A|
>|A|-ε
=|A|-(|A|-1)/2
=(|A|+1)/2>1
だから
x^2+y^2+z^2>1
だから
(x,y,z)∈R^3-S
だから
R^3-Sは開
だから
S=
{(x,y,z)∈R^3;x^2+y^2+z^2≦1}
は閉

回答No.1

tmpname

一度どこまで分かって、どこから分からないか、ご自身の解答を補足に書いてください。さすがにこの問題は一度自分で考えてもらいたい。