位相について

質問

本の練習問題で命題を証明しています。
自信のない箇所があります。
「O_d=O_cを示せ」という問題の「O_d⊂O_c」の部分です。
記号の説明は下記の点線で囲んだ所を見てください。
その下に自分の証明を書きます。
（注）と記した辺りで、問題にあるヒント「R^nからR^mへの線形写像hはh(e_1),...,h(e_n)で一意に定まるという事実を使え」を参考にました。
使い方はこれでもいいでしょうか（他にもあるようです）。
他にも誤りや誤っていそうな所がありましたら、ご指摘、アドバイスください。
よろしくお願いします。

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Hを R^nからR^mへの線形写像全体の集合とする。
各h∈Hについて、hを表す(m, n)型実行列をf(h)と書くと、fは全単射。
h、l∈Hの間の距離をf(h)-f(l)の2-ノルムとして定める。
この距離により定まるHの位相をO_d（開集合系）で表す。

R^nからR^m（どちらもユークリッド位相を考える）への連続写像全体の集合C(R^n, R^m)にコンパクト開位相を定めることができる。
ここで、H⊂C(R^n, R^m)。
コンパクト開位相のHにおける相対位相をO_c（開集合系）で表す。

e_1,...,e_nをR^nの標準基底とする。
--------------------------------------------

以下、O_d⊂O_cを示す。

U∈O_dを固定する。

S_i={h(e_i) | h∈U}（i=1,...,n）
とおく。

全てのiについてS_iはR^mの開集合。

h∈U ⇔ [h(e_i)∈S_i（i=1,...,n）, h∈H]（注）.

ここで
W({e_i}, S_i)={h∈C(R^n, R^m) | h(e_i)∈S_i}
とおく。
（各A⊂R^n、B⊂R^mについての記法W(A, B)が前提としてあり、それに従っています。）
すると

[h(e_i)∈S_i（i=1,...,n）, h∈H]
⇔ h∈H∩[∩_(i=1)^n W({e_i}, S_i)].

よって

U=H∩[∩_(i=1)^n W({e_i}, S_i)].

ここで全てのiについて{e_i}はR^nでコンパクト、S_iはR^mの開集合。
よって全てのiについてH∩W({e_i}, S_i)∈O_cだから、
U∈O_c。

したがってO_d⊂O_c。

回答No.11

eclipse2maven · ベストアンサー

sup ||f(x)||
||x||=1

で　　||f|| がもとまりますよね　（いま有限次元ですから　ノルムはすべて同値です）

単位球面をＳ、　原点のε開球をＢ_εとしたら

Ｗ（Ｓ，Ｂ_ε）={f| ||f||<ε}

両者の　原点でも開近傍になっていて、関数列f_n が　ｆに収束するのが同値になるから。。。

って感じなのですが。

厳密さにかけますが、　なんか出来そうに思うのですが。

まあ、かえって回りくどいのかなあ。（＾＾；

お礼

作用素ノルムで議論すればよかったのですのね。
勉強になりました。

回答No.10

eclipse2maven

｜｜f（x）｜｜≦　｜｜f｜｜　　（　｜｜x｜｜＝１　）

を使えばできるとおもいます。

お礼

上記の回答でよくわかりました。
ありがとうございました。

補足

Ano.8のお礼の文脈でいうと、O_dの基底として距離dに関する開球B_d(h, ε)の集まり、コンパクト集合AとしてR^nの（n-1次元）単位球を考える、ということでしょうか。

それでやってみましたが、分からなくなってしまいました。
例えば開集合BとしてR^mの中心0の開球を求めるとします（以下、ノルムは全て2-ノルム）。
f∈B_d(h, ε)について、
x∈Aなら||f(x)||≦||f||。
しかしこれだけからは、
全てのx∈Aで||f(x)||<δなら||f||<cのようには言えず、
「全てのx∈Aで||f(x)||<δならば||f-h||<ε」
となるようにδを見つけることができない気がします。
そうするためには、やはりR^nの基底ベクトルに注目せざるをえない気がしますが、どうなんでしょうか。

アドバイスを誤解しているようでしたら、すみません。

回答No.9

eclipse2maven

＞O_c⊂O_dを示すには、以下の定理を使えばよいと思っていました。
＞「位相空間X、Y、およびH⊂C(X, Y)について写像Φ_H: H×X→Yを
Φ＞_H(h, x)=h(x) （(h, x)∈H×X）
＞で定義する。
＞この時、H上の位相OとX上の位相との直積位相に関してΦ_Hが連続であれば、
＞OはH上のコンパクト開位相よりも大きい。」

了解です。

修正した証明も大丈夫です。

お礼

確認してくださりありがとうございます。

回答No.8

eclipse2maven

たびたび失礼

N０。４　で　私の書いた

「両方共、開基になっているので、それで同相とは言えると思いますが。」

は間違いで　O_d⊂O_c　までですね。　勝手な　W（A、B）　に対して、これが　O_d に含まれてるとはまだ言えてませんね。

従って　不備をなおせば　O_d⊂O_c　までは　主張出来ます。

逆を言うには、　こういう基底をとる方法では私は思いつかず。　||h(x)|| ≦　||h|| ||x|| とか　hのノルムについての議論が必要に思いますが。　そうなると　O_d⊂O_c　も　基底を使わなくても　ノルムの議論でも出来そうな気がするのですが。。。
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お礼

O_c⊂O_dは確かに（ベクトル空間の）基底を使わずできそうですね。
Aがコンパクト（ここでは有界閉）、Bが開なら、h∈W(A, B)の周りの距離dに関する十分小さい近傍Uを取って、全てのl∈Uとx∈Aについてl(x)∈U、したがってU⊂W(A, B)というのは示せそう。

O_d⊂O_cについてはどうでしょうか。O_dの基底から開集合Uを持ってくる。各h∈Uについてh∈W(A, B) ⊂Uとなるようなコンパクト集合Aと開集合Bを探せばいいわけですが、（ベクトル空間の）基底を使わずにうまく見つけられるでしょうか?

補足

ありがとうございます。
確かに不十分でした。
胸につかえていたものが取れたような気がします。

つまり以下のようなことですよね：
「全てのiについてh(e_i)∈S_iであるとする。
S_i={l(e_i) | l∈U}（i=1,...,n）
であるから、全てのiについてl_i∈Uがあり、l_i(e_i)=h(e_i)。
しかし全てのiについてl(e_i)=h(e_i)となるl∈Uがあるとは限らない。
後者を保証するためには、Hをn個のR^mの直積と見なして、
Hの開集合としてU=U_1×...×U_n（各iについてU_i⊂R^m）の形のものを考えればよい。」

これに従い直してみます：

U_i=(a_i1, b_i1)×...×(a_im, b_im)（開区間の直積）
とし、
U=U_1×...×U_n
とする。
すると確かに
U=∩_{i=1}^n W({e_i},S_i)∈O_c。
上のような形のUの集まりはHの基底である。
よって任意のV∈O_dはこのようなUの和集合として表される。
従ってV∈O_cも成り立つ。

O_c⊂O_dを示すには、以下の定理を使えばよいと思っていました。
「位相空間X、Y、およびH⊂C(X, Y)について写像Φ_H: H×X→Yを
Φ_H(h, x)=h(x) （(h, x)∈H×X）
で定義する。
この時、H上の位相OとX上の位相との直積位相に関してΦ_Hが連続であれば、
OはH上のコンパクト開位相よりも大きい。」

回答No.7

eclipse2maven

No6 は　片側も言えませんね。　失礼。

お礼

他の方法も考えてくださり、ありがとうございます。

回答No.6

eclipse2maven

あと、　片側だけなら　　ｉ を動かす必要がないと思いますが、

つまり　h(e_1)∈S＿１　for all f)∈U

が言えれば　U∈W({e_1},S_1}

で十分なのでは？

お礼

間違いということですが、なぜそう思われたのか、少し気になるところです。

回答No.5

eclipse2maven

No4 の　訂正

つまり、　h(e_i)h(e_i)∈S_i （i=1,...,n） なる線形写像は、つまり=W({e_1},...,{e_n}, S_1,...S_n)
が　U　になるかは　主張していないし、一般に　Uの形を特定してからでないと成り立たないでしょう。

＝＝＞

つまり、h(e_i)∈S_i （i=1,...,n） なる線形写像の集合つまり、W({e_1},...,{e_n}, S_1,...S_n)
が　U　になるかは　主張していないし、一般に　Uの形を特定してからでないと成り立たないでしょう

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.4

eclipse2maven

h∈U ⇔ [h(e_i)∈S_i（i=1,...,n）, h∈H]（注）.

ですが、　U　⊂　∩_{i=1}^n W({e_i},S_i) (=W({e_1},...,{e_n}, S_1,...S_n) )

は、主張出来ますが。逆向きの包含関係は　成り立たないと思いますが。

つまり、　h(e_i)h(e_i)∈S_i （i=1,...,n） なる線形写像は、つまり=W({e_1},...,{e_n}, S_1,...S_n)
が　U　になるかは　主張していないし、一般に　Uの形を特定してからでないと成り立たないでしょう。　Uの方は　R＾mの
n個の直積空間として、R＾mにproduct topology 入れたとみれば、特定するのは簡単なはずです。

両方共、開基になっているので、それで同相とは言えると思いますが。

その部分が不十分だとおもいます。

お礼

ありがとうございます。
正しいご指摘だと思います。
上の回答に補足しましたので、見てくださると助かります。

回答No.3

noname#152422

A.No.2の補足前段について、そうですね、あなたの言うとおりです。
追加質問の部分は知りません。ごめんなさい。

蛇足１）
（注）の部分はトートロジーみたいですけど問題はないです。

蛇足２）
解き方とは関係ありませんが、標準基底というのが引っかかる。基底に依存しないようなきれいな問題設定ができないだろうかと思いました。

お礼

何度もコメントいただき、ありがとうございました。

補足

(1) 有限次元、線形写像だから有限個（n個）の条件で済むというのがミソなんでしょうね。
(2) 基底を選んで固定すれば、証明の大筋は変わらなそうですね。

回答No.2

noname#152422

A.No.1です。
定義については参考URLを参照しました。

証明になっていないと書いたのは、定義と違うからという理由です。

あなたがいう定義はそうじゃないというのならそうじゃないのかもしれませんが、質問文だけからはそのように見えないので書き込みました。

もう1点気になっていたのは、

> 全てのiについてS_iはR^mの開集合。

の部分、証明が書かれてませんが大丈夫ですか？

参考URL：

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/mapq/mapq2.pdf

お礼

長い補足に答えてくださり、ありがとうございました。

補足

再度のコメントありがとうございます。

参考URLの文書を見ました。
そこでも、コンパクト開位相の定義は、先ほどの補足に書いたものと同じですね（演習問題2.3）?
あなたが書いてくださったのはその文書でC^0位相として別に定義されているものだと思います。
演習問題2.3において、ユークリッド空間の場合に、コンパクト開位相との一致が示されています。
ちなみに、児玉・永見（1974）も、W(A, B)に相当する記号[A, B]を、写像の定義域の部分集合A、終集合の部分集合Bについて定義し、それに基づきコンパクト開位相を定義しています。
それがコンパクト開位相の定義だと私は思っています。
他に定義の仕方がないという確信はありませんが。
これに関連してお聞きしたいのですが、コンパクト開位相とC^0位相の一致はユークリッド空間の場合以外にも起きますか?

S_iがR^mの開集合だというのは大丈夫だと思います。
省略してすみませんでした。
「差の2-ノルム」で与えられる距離dで定まる位相を(m, n)実行列全体の集合Mに入れると、Mの開集合Vがあって、
S_i={Ae_i | A∈V}.
つまりAの第i列をa_iと書くと
S_i={a_i | A∈V}.
今S_iの点a_i=Ae_iを固定する。
ε>0があって、中心A、半径εの距離dに関する開球B_d(A, ε)について
B_d(A, ε)⊂V.
行列AとBについてd(A, B)<εなら、m次元ユークリッド距離d_mについて
d_m(a_i, b_i)<ε.
よってd_mに関する開球をB_m( , )で表すと
B_m(a_i, ε)⊂S_i.
よってS_iはR^mの開集合。

回答No.1

noname#152422

証明になってないようにみえます。

W(A,B)の定義をもう一度確認して、S_iの作り方を考え直してみてください。

Bは(R^m)の開集合ではなくて、(R^n)×(R^m)の開集合とされているはずです。

お礼

長い質問に答えてくださり、ありがとうございました。

補足

コメントありがとうございます。
質問でW(A, B)を定義なしに使ってしまいました。
手元の本（内田伏一, 1986）は位相空間X、Yが与えられた時、部分集合A⊂X、B⊂Yについて
W(A, B)={ f∈C(X, Y) | f(A)⊂B}
と定義しています。
C(X, Y)はXからYへの連続写像全体の集合です。
C(X, Y)のコンパクト開位相は、
{W(A, B) | Aはコンパクト、Bは開}
が生成する位相として定義されています。
また、ざっと他の文献を見ても、この定義と本質的に変わらないようです。
私の質問の文脈ではX=R^n、Y=R^m（ユークリッド空間として）です。
以上から、「Bは(R^m)の開集合ではなくて、(R^n)×(R^m)の開集合とされている」は、どんな意味においても理解できません。
どうしてそうなるのか、ご説明お願いします。

また、「証明になっていないようにみえる」というのは、なぜでしょうか。
上記の点で定義が違うから証明になっていない、という意味でしょうか。
もう少し詳しく指摘してくださると助かります。