位相の問題

質問

二つの近傍系β1(a)（ａ∈Ｓ）、β２(a)(a∈S)が与えられ、次の条件が満たされているとする。
任意のＯ_1∈β1(a)に対して、Ｏ_2⊆Ｏ_1となるＯ_2∈β2(a)が取れる。また逆に、任意のＯ_2∈β２(a)に対して、Ｏ_1⊆Ｏ_2となるＯ_1∈β1(a)が取れる。

このとき、二つの近傍系は同じ位相を定めることを示せ。

この問題で自分は次のように解答を作りました。

[証明]
近傍系β1(a)から決まる開集合Aの定義より
　　∀a∈A（⊂S）、∃u∈β１(a)；ｕ⊆Ａ

ここで∀Ｏ_1∈β1(a)に対してＯ_2⊆Ｏ_1となるＯ_2∈β2(a)が取れるので、
∃u∈β1(a)が存在して、Ｏ_2⊆uとなるＯ_2∈β1(ａ)がとれる。
したがって、∀a∈A（⊆S）、∃Ｏ_2∈β2(ａ)；Ｏ_2⊆ｕ⊆Ａ
よって、Ａは近傍系β２(ａ)から決まる開集合である。
同様に逆も成り立つ。
故に二つの近傍系β１(ａ)、β2(ａ)は同じ位相を定める。

この回答で不十分な点、間違いとうがあったら指摘してください。お願いします。

回答No.1

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

この解答で十分です。
但し、ikecchiさんは既にお気づきかと思いますが、
>∃u∈β1(a)が存在して、Ｏ_2⊆uとなるＯ_2∈β1(ａ)がとれる。
β1(a)→β2(a)の書き誤りですね。
修正してください。

# Web上で数式を一気に書き下すことはなかなか厄介な作業です。

# 冒頭の部分は
# Aを近傍系β1(a)から決まる開集合とする。開集合の定義より～

# ∃u∈β2(a)が存在して、Ｏ_2⊆uとなるＯ_2∈β2(ａ)がとれる。
# は、∃Ｏ_2∈β2(a)が存在して、Ｏ_2⊆uを満たす。
# または、∃u∈β2(a)が存在して、の部分を取る。

# 国語の添削になっちゃいましたね。気にしないでください！