位相についての質問２（初歩）
- 実数全体をSとして、与えられた位相についての質問です。
- 質問内容としては、与えられた位相での開集合や閉集合についての疑問があります。
- さらに、異なる位相が与えられた場合にどのような変化が生じるかについても関心を持っています。
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位相についての質問２（初歩）
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- shingo-numtech
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どうも前の質問と合わせて見るに開集合や閉集合が何なのか理解していないように思います． まず開集合とは位相の要素のことです．また閉集合とは補集合が開集合である要素のことです． なので開集合とか閉集合とか言う場合は常に位相を指定しなければ，その文は意味を持ちません．実数全体からなる集合の（暗黙理に与えられることの多い）「ふつう」の位相Tは次のようなものです： T = {S, ∅} ∪ { (a_1, b_1) ∪ … ∪ (a_n, b_n) | n : 自然数, a_i, b_i ∈ S ∪ {±∞} }． ここで(a, b) = { x ∈ S | a < x < b } のことです． したがって位相が違えば（つまり何を開集合とするかの規則を変われば）開集合が変わるのは当然です．そこで質問への回答は次のようになります： (1) 開集合ではありません．なぜなら位相の要素でないから． (2)上に同じ．また閉集合でもありません．なぜなら(Sにおける)補集合もやはり位相の要素でないからです． (3)開集合でも閉集合でもありません．（注意：開集合と閉集合は互いの否定概念では*ありません*！）なぜなら[0, 1]もその補集合も位相の要素でないからです．
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お礼
回答ありがとうございます。 >>どうも前の質問と合わせて見るに開集合や閉集合が何なのか理解していないように思います ここですね、問題は。。。 位相がどうのと意識する前に、[0,1]だの(0,2)といった通常の区間をもって開集合、閉集合というものだというイメージから離れられないようです。 もっと用語の定義をしかっり学びたいと思います。 ありがとうございました。