位相に関する初歩的な質問です

このQ&Aのポイント
  • 集合Sにおいて定義されるすべての位相を考え、その集合をF(S)=Fとする。
  • O'をどのO_αよりも強い任意の位相とすれば、明らかにO'⊃∪[α∈A]O_αである。
  • (★)はどうしてでしょうか?∪[α∈A]O_αは必ずしもSにおける位相とはならない。
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位相に関する初歩的な質問です。

集合Sにおいて定義されるすべての位相を考え、その集合をF(S)=Fとする。 (O_α)_α∈AをSにおける位相からなる任意の族(すなわちFの元から成る任意の族)とする。 O'をどのO_αよりも強い任意の位相とすれば、明らかに O'⊃∪[α∈A]O_αである。 ∪[α∈A]O_αは必ずしもSにおける位相とはならない。・・(★) (★)はどうしてでしょうか? ∩[α∈A]O_αは必ずSにおける位相になりますが・・・。 ∪[α∈A]O_αが位相である為の3つの条件 (1)S∈∪[α∈A]O_α,φ∈∪[α∈A]O_α (2)M_1,M_2∈∪[α∈A]O_αならばM_1∩M_2∈∪[α∈A]O_α (3)(M_λ)_λ∈Λを∪[α∈A]O_αの元から成る任意の集合族とすると、∪[λ∈Λ]M_λ∈∪[α∈A]O_α のどれが証明できないのでしょうか?? またその理由はなんですか? (自分は(1)と(2)は証明できる"つもり"でいますが・・・) どなたかわかる方いらっしゃったら回答よろしくお願いしますm(_ _)m

noname#87373
noname#87373

質問者が選んだベストアンサー

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  • rabbit_cat
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回答No.2

(1)は明らかに満たしますが、 (2)も(3)も満たさない可能性があります。 そうですね。 たとえば、S={1,2,3,4} として O1={φ, {1,2}, {1,2,3,4}} O2={φ, {2,3}, {1,2,3,4}} とすると、O1,O2は、Sの位相ですが、 O1∪O2 = {φ, {1,2}, {2,3}, {1,2,3,4}} は、位相の条件の (2)も(3)も満たしません。

noname#87373
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 なるほど。たしかにこれだと M_1,M_2∈O1∪O2 として特に M_1={1,2} M_2={2,3}を考えたとき M_1∩M_2={2}はO1∪O2の元ではないし M_1∪M_2={1,2,3}もO1∪O2の元ではないから (2)(3)は不成立ですね。 ↑あってますよね・・? ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.1

>(自分は(1)と(2)は証明できる"つもり"でいますが・・・) じゃあ、まずはそれを補足にどうぞ。

noname#87373
質問者

補足

回答ありがとうございます。 (1) O_αはSにおける位相であるからS,φ∈O_α 一方、O_α⊂∪[α∈A]O_αであるから、 結局S,φ∈∪[α∈A]O_αである。 (2)の証明なんですが、すいません。自分の解答を見直してみたのですが間違っていました。 というのも,M_1,M_2∈∪[α∈A]O_αより ∃α1,α2∈A s.t.M_1∈O_α1 M_2∈O_α2 ここから M_1∩M_2∈O_α1∩O_α2⊂O_α1⊂∪[α∈A]O_α という風にしてました・・・。 M_1∩M_2∈O_α1∩O_α2 この式はおかしいですね・・・。 失礼しましたm(_ _)m まとめると (1)は常に成り立つが、(2)(3)は成り立つとは限らない ということでしょうか?

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