これはハイネ-ボレルの定理の矛盾?

質問

こんにちは。

『(ハイネ-ボレルの定理)コンパクト位相空間Xの任意の閉集合Aはコンパクトである』
というのを本で見かけました。

『実数空間Rの閉区間[a,b]はコンパクトである(ハイネ-ボレルの定理)』というのも見かけましたので「なるほど、Rはコンパクト位相空間だから[a,b]はコンパクトになるんだなあ。」
と思っていましたら
その後に
『[例] 実数空間Rにおいて、R及び、開区間(a,b)はコンパクトでない事を証明せよ』
とも書いてありました。

Rは位相空間ですがコンパクトでなくても閉区間[a,b]はコンパクトになるのですか?
何かおかしくないですか?

ハイネ-ボレルの定理に詳しい方ご解説をお願い致します。

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

別に矛盾はありません。
「ハイネ-ボレルの定理」という同じ名前で呼ばれる定理が２つあるだけです。
一つは「コンパクト位相空間Xの任意の閉集合Aはコンパクトである」
一つは「実数空間Rの任意の閉区間[a,b]はコンパクトである」

後者はもう少し一般的に「実数空間の任意の有界閉集合はコンパクトである」という形で言われることもあります。

お礼

ご回答有難うございます。

> 別に矛盾はありません。
> 「ハイネ-ボレルの定理」という同じ名前で呼ばれる定理が２つあるだけです。
> 一つは「コンパクト位相空間Xの任意の閉集合Aはコンパクトである」
> 一つは「実数空間Rの任意の閉区間[a,b]はコンパクトである」

それぞれ異なる定理だったのですね。
明確に使い分けたい場合にはそれぞれ
「コンパクト位相空間でのハイネ-ボレルの定理」
と
「実数空間でのハイネ-ボレルの定理」
と呼び分ければいいのでしょうか?

> 後者はもう少し一般的に「実数空間の任意の有界閉集合はコンパクトである」
> という形で言われることもあります。
これは
「距離空間の任意の有界閉集合はコンパクトである」
まで拡張可能なのでしょうか?
何処まで拡張可能?

回答No.3

rinkun

> 「距離空間の任意の有界閉集合はコンパクトである」

これは無理です。無限次元ヒルベルト空間が反例になります。
局所コンパクト距離空間なら良かったかな。細かいところは覚えていないので位相空間に関する書籍にあたってください。

お礼

ご回答有難うございます。

そうですか。距離空間では無理なんですね。
、、、という事はとりあえずは
R^nやC^n空間までなら拡張可能なのですね。

回答No.2

adinat

同じことですが、もう少し一般化して、

「コンパクト集合の任意の閉部分集合はコンパクトである」

としておきましょう。Rはコンパクト位相空間ではないため、この定理が使えないので、区間［a,b］がコンパクトであることを別の手段で証明する必要があります。

その上で、［a,b］がコンパクトであることは、有界であること（非有界なR全体ではダメ）、さらに閉集合であること（開集合（a,b）ではダメ）が大切だ、ということを例をもって納得してもらいたかった、ということでしょう。

お礼

ご回答有難うございます。

> 同じことですが、
同じ定理なのですか?

#1の方はそれぞれ異なる定理(たまたま呼び名が同じだっただけ)だと仰ってますが。。

> もう少し一般化して、
> 「コンパクト集合の任意の閉部分集合はコンパクトである」
> としておきましょう。
『(ハイネ-ボレルの定理)コンパクト位相空間Xの任意の閉集合Aはコンパクトである』を一般化版ですね。

> Rはコンパクト位相空間ではないため、
> この定理が使えないので、区間［a,b］がコンパクトであることを別の手段で証明する必要があります。
> その上で、［a,b］がコンパクトであることは、
> 有界であること（非有界なR全体ではダメ）、
>　さらに閉集合であること（開集合（a,b）ではダメ）が大切だ、
> ということを例をもって納得してもらいたかった、ということでしょう。

「実数空間の任意の有界閉集合はコンパクトである」
は
「距離空間の任意の有界閉集合はコンパクトである」
まで拡張可能なのでしょうか?
何処まで拡張可能?