lim[x→∞]f(x)の位相での定義は?

質問

よろしくお願い致します。

『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-a|<δ⇒|f(a)-f(x)|<ε』
は
『2つの位相空間(X, T)、(Y, S)　と　map f;X→Y と
L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b),∃δ∈nbhd(a) such that
f(δ)⊂ε}(a
∈X)に於いて、
L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい
limf(x):=L
x→a
と表記する。そして、L=φの時、f(x)は発散すると言う』
という具合に一般で定義できると思います。

『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』
に就いては、

『Bは位相空間(X*,T*)の部分集合Aの開被覆である』
の定義は
『T* の部分集合Bに於いて、A⊂∪[b∈B]b』

『位相空間(X*,T*)の部分集合Aはコンパクトである』
の定義は
『X*
の部分集合Aの任意の開被覆B(⊂T*)に対し、∃{b1,b2,…,bn}
⊂B (n∈N) such that A⊂∪[i=1 to n]bi』

『位相空間(X*,T*)はコンパクト空間をなす』
の定義は
『位相空間(X*,T*)の部分集合X* はコンパクトである』

『位相空間(X,T)が位相空間(X*,T*)の中で稠密である』
の定義は
『X⊂X* 且つ φ≠∀A∈T* に対して,A∩X≠φ』

『位相空間(X*,T*)は位相空間(X,T)のコンパクト化である』
の定義は
『X* はコンパクト空間 且つ XはX* の中で稠密である』

従って、『x→∞』の定義は『xをa∈X* に近づける』を意味す
るので
εとδを使うと、

2つの位相空間 (X,T)、(Y,S)　と　map f: X → Y があり、位
相空間(X*,T*)は(X,T)のコンパクト化である時、
L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b,(Y,S)),∃δ∈nbhd(a,(X,T)) such that
f(δ)⊂ε}(a∈X*)に於いて、
L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい
lim f(x):=L
x→a
と表記し、
L=φの時、f(x)は発散すると言う。

例:実数体RではX*はR∪{+∞,-∞}に相当し、a∈{+∞,-∞}

と定義してみたのですが、
どんな位相空間(X,T)やコンパクト化(X*,T*)では良いという訳ではなく、
夫々に何らかの条件を付け加えねばならないような気がします。
どのような条件を付ければ
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や
『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』
の一般での定義が完成しますでしょうか?

回答No.1

fjfsgh

これって別のところでも質問しました?
そこでは次のようになっています。

１．任意の位相空間 X に対してそのコンパクト化が存在するが，よい性質を持つコンパクト化が存在するためには，X に一定の条件が必要．
２．一般には，１つの位相空間に対して多くのコンパクト化が存在する．したがって，目的に応じてコンパクト化を選ぶ必要がある．
３．位相空間 X のコンパクト化 X* に対して，X* - X には無限個の点が存在する場合がある．

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> これって別のところでも質問しました?
はい、途中で糞妻ってしまいました。

> １．任意の位相空間 X に対してそのコンパクト化が存在するが，
> よい性質を持つコンパクト化が存在するためには，
> X に一定の条件が必要．
この文意は何らかの条件を私が提示した定義に付け加えないと不都合が生じるという解釈でいいのでしょうか?

> ２．一般には，１つの位相空間に対して多くのコンパクト化が
> 存在する．したがって，目的に応じてコンパクト化を選ぶ
> 必要がある．
目的は距離空間や実数空間のε-δに当て嵌まるように定義したいのです。
その場合はどうやってコンパクト化を選べはいいのでしょうか?

> ３．位相空間 X のコンパクト化 X* に対して，
> X* - X には無限個の点が存在する場合がある．
この文意もよくわかりません。つまり有限個の場合用と無限個場合用の定義が必要になってくるという意味なのでしょうか?