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位相

数学科2年のものです。 位相空間についての授業が始まったのですが、演習問題で、わからない問題があります。 初歩的な問題かもしれませんが、どなたか解答お願いします。 集合S={1,2,3,4}に部分集合族Lを L={Φ、{1}、{1,2}{1,3}{1,2,3}、S} により与える。Sの部分集合{1,2,4}をTとおく。 (1)(S,L)は位相空間であることを示せ。 (2)位相空間(S、L)においてTの内部を求めよ。 (3)位相空間(S、L)においてTの閉包、境界を求めよ。 特に(1)の位相空間の定義の、「Lに属する任意個の和集合がLに属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。

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(1) は「~を示せ」という問題ですが、"prove" とか "show" は大袈裟で、"verify" 程度の内容です。 位相空間の定義を教科書やノートで復習すれば、( S, L ) が位相空間であることの確認は、容易だと思うのですが。 >特に(1)の位相空間の定義の、「L に属する任意個の和集合が L に属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。 L が有限集合ですから、任意個といっても、実際には2個ずつで調べれば十分です。 位相空間の定義を理解するにおいて、なれてくるまでは、S の位相をすべて書き出してみるのが理想の勉強方法です。 しかし、この問題のように S の元が4個もある場合だと、時間的負担が大きすぎるかもしれません。 そこで、S の位相になっていない例を作ってみるのがお勧めです。 この問題では、L = { Φ, { 1 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 1, 2, 3 }, S } ですが、L の元から { 1, 2, 3 } を取り除いてしまった L’ は、位相にはなりません。 なぜなら、L’ = { Φ, { 1 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, S } ですが、L’ の元 { 1, 2 } と { 1, 3 } の和集合 { 1, 2, 3 } が、L’ の元になっていないからです。 (2) は、講義で「内部」をどう定義しているか分からないので、回答しづらい感じもあります。 定義に忠実でないかもしれませんが、T の内部 int ( T ) を求めるには、T に含まれる開集合のみを取り出し、それらの和集合を求めればいいのです。 あるいは、T に含まれる開集合のうち、集合として最大のものを求めても正解が得られます。 もし T が開集合なら int ( T ) = T が成り立ちます。 この問題では T は開集合ではないので、int ( T ) = { 1, 2, 4 } とはなりません。 (3) は、まず、位相空間 ( S, L ) の閉集合をすべて書き出します。 その中から T を含む閉集合のみを取り出し、それらの共通部分を求めれば、それが T の閉包 cl ( T ) です。 ただ、内部のときと同様、講義で習った閉包の定義とは異なるかもしれません。 cl ( T ) は、T を含む閉集合のうちで集合として最小のもの、ということもできます。 もし T が閉集合なら cl ( T ) = T が成り立ちます。 この問題では T は閉集合ではないので、cl ( T ) = { 1, 2, 4 } とはなりません。 T の境界 ∂T を、T の内部 int ( T ) と T の閉包 cl ( T ) を使って表現するなら、 ∂T = { s ∈ S | s は int ( T ) の元でない かつ s は cl ( T ) の元 } となります。 また、cl ( T ) = int ( T ) ∪ ∂T も成り立ちます。 これを使う場合も、int ( T ) と ∂T は disjoint なので、int ( T ) と cl ( T ) が既知の場合、∂T は簡単に求めることができます。

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質問者からのお礼

非常にわかりやすい説明、ありがとうございました。 これでなんとかなりそうです。

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