Borel集合の例

質問

「実数直線R上のボレル集合体 B(R) は、R 内の任意の区間を含む最小の完全加法族である」のは正しいと思いますが、実数直線上の完全加法族で、B(R)を真に含んでいるものの例はあるのでしょうか？
(ただし、Rには通常の位相を入れるものとします。)

回答No.5

rinkun · ベストアンサー

ANo.2です。すでにANo.4で指摘されていますが、ボレル非可測なルベーグ可測集合の作り方は以下の通りです。
1. ルべーグ非可測集合を用意する(これには選択公理を使う)
2. カントール関数を使って1のルベーグ非可測集合をカントール集合の中に写像する
3. 2の像はカントール集合の部分集合なのでルベーグ測度ゼロ、従ってルベーグ可測になる
4. カントール関数は連続なので2の像はボレル可測ではない(これがボレル可測なら1もボレル可測になってしまう)

あと、検索したら非ボレル集合の構成方法がありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ただこの例の集合がルベーグ可測かどうかは分かりません。

お礼

何度も丁寧にお答えいただき、有り難うございました。
お陰様で、大変勉強になりました。

回答No.4

noname#199771

http://math.stackexchange.com/questions/141017/lebesgue-measurable-set-that-is-not-a-borel-measurable-set

の回答をご参照ください。

お礼

ありがとうございます。
大変参考になりました！！

回答No.3

ask-it-aurora

< rinkunさん，横槍を入れてすいません．
僕はあまりこの手の話題に詳しくないのですが，数学辞典によるとルベーグ可測でない集合が存在して，(G. Vitaliによる)その構成法が選択公理を使うものだそうです．もしかするとこの例と勘違いされてませんか？（僕が無知なだけかもしれませんが…）

「cを連続体の濃度としたときRにおいてルベーグ可測な集合全体の濃度が2^c，ボレル集合族の濃度がcだから」という議論から存在することはわかるそうです．(やはりあまり詳しくないので責任ある発言ではありせんが…)

rinkunさんのいうような構成法も知られているのかもしれませんが，発見できなかったので，もし僕の無知による勘違いでしたら後学のために出典を明記してくれませんか？

お礼

ご回答いただき、ありがとうございます。
私も勉強になります。

回答No.2

rinkun

具体的な例は無理と思います。
たしか、ルベーグ可測でボレル可測でない例は選択公理を仮定しないと作れなかったはずです。
# 選択公理を使う必要がある＝構成的には作れない

お礼

有り難うございます。
(なるほど！！)

回答No.1

rinkun

ルベーグ可測集合族がその一例では？
ルベーグ可測でボレル可測でない集合が存在することからボレル集合族より真に大きな集合族であることは明白ですね。

お礼

ご返事を頂き、有り難うございます。
ルべーグ積分に習熟していないため、初歩的な質問になり大変申し訳ありませんが、そのようなものを具体的に書き出すことはできるのでしょうか？