閉集であるという証明

質問

実空間をRとして
RxRの部分集合
x∈R
(x,1/x) 0<x≦1

が何故閉集なのか分かりません。。。（普通のユークリッド空間の距離で作られた位相空間とします)
どなたか証明よろしくお願いします。

回答No.3

pikaruche

以下次の定理を使います：
定理：ユークリッド空間（距離空間でもよい）の部分集合をAとする。
Aの点列{a_n}_nがyに収束すれば、a∈Aが成立するとする。するとAは閉集合である。

（ご質問への解答）
A＝｛(x,1/x)∈RxR｜0<x≦1｝とする。
Aの点列{（x_n,1/x_n）}_nが（y_1,y_2）∈RxRに収束するとする.........(1)

すると、{x_n}_nはy_1に収束する。すべてのnについて、0<x_n≦1なので、0≦y_1≦1。
y_1は0 ではない、なぜなら{x_n}_nがy_1＝0に収束するとすれば、1/x_n->＋∞であり、点列{（x_n,1/x_n）}_nはRxRの元に収束しないから。よって、y_1>0.
関数x|->1/x は、x=y_1>0において連続で{x_n}_nはy_1に収束するので、{1/x_n}_nは1/y_1に収束する。
これとy_2は｛1/x_n｝_nの極限であること((1)より)とにより、y_2＝1/y_1なので、（y_1,y_2）∈A。
上の定理によって、Aは閉集合。

回答No.2

noname#202657

日本語が何を言っているのか理解不能。
数学は正確さが命なのですよ。

回答No.1

rinkun

何故とか考えない。閉集合あるいは開集合の定義に従って計算していけば証明できる。
例えば該当集合の外の点を任意にとって、該当集合までの最短距離で開球を作れば外側が開集合だと証明できるでしょ。