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ベクトルの1次独立
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一次独立でないことは、その中の1ベクトルが他の幾つか(1つでもいい)のベクトルの定数倍の和であることを示せばいいのですが、本問は、5次元のベクトルが4個なので「こんなの調べていられるか!」と思って次のようにしました(実は#3さんが言うように本問の場合は超簡単なのですが、気付かなかったT_T)。 4つのベクトルの定数倍の和で表せないベクトルを1個もってきて、与えられた4つのベクトルと共に並べて5次の行列を作る。その行列式が0なら与えられたベクトルは一次独立でない、0でないなら一次独立です。 持ってくるベクトルなのですが、与えられた4つのベクトルの第5成分がいずれも0ではないので、第5成分を0にし、他の成分の少なくとも一つを非ゼロにすればOKです。非ゼロにする成分ですが、4つのベクトルの中で値が複雑な成分にすると行列式の計算が簡単になります。第1成分と第2成分には0が2個ずつあるので第3成分か第4成分を非ゼロにすればいいでしょう。 そこで、持ってくるベクトルを(0,0,0,1,0)とすると、行列は 1 0 1 0 2 0 1 0 1 2 0 0 1 1 2 1 1 2 2 6 0 0 0 1 0 となります。これの行列式を求めるとゼロになるので、与えられた4つのベクトルは一次独立ではありません。 ※この行列の転置行列を作ると、4つのベクトルが一次独立でないことは殆ど明らかですね・・・ なぜ気付かなかったんだろう・・・
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- kkkk2222
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質問文の意味が #1 この問題を解きたい。 #2 一次独立・1次従属の意味を知りたい。 #1ならば (1,0,1,0,2)=A(1,1,2,2,6)+B(0,0,1,1,2)+C(0,1,0,1,2) とでも置いて、A、B、Cが解を持つならば 1次従属=一次独立でない。 解を持もたないならば、一次独立 試しに解いて見ましたが容易く解けてA,B、Cは解を持ちますので(一次独立でない)といえます。 簡単に解ける点から逆推論して、 一次独立・1次従属の<確認>の問題といえます。 #2ならば#1の意味がわからぬはずで、多少やっかいではありますが、 #22 概念(IMAGE)だけで良ければ、 2次元(平面上)のベクトルで、 2つのベクトルで全平面が表せるなら、一次独立。 表せぬなら、1次従属。 #222 証明が必要なら 3次元までは容易で、 4次元以上は、確か<背理法>だったような。 ただ、一次独立・1次従属・線型結合・次元dimVは重要ですので、 大学一年の<代数幾何のTEXT>にn次元の証明が、最初に記載されています。 NET検索した所、貴殿の求めるような説明は意外にもみつかりませんでした。以下のURLも多分ダメとは思います。 ともかく<一次独立・線型結合・ベクトル・線型独立>などで検索してみて下さい。判り良いSITEがあるはずです。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88
お礼
アドバイスありがとうございました、早速調べてみます。
- jamf0421
- ベストアンサー率63% (448/702)
基本変形により階数(Rank)を出されれば、それが一次独立のベクトルの最大個数ではないですか?
それぞれのベクトルが他のベクトルの定数倍で表せないことを示せばいいと思います。
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参考になりましたご回答感謝いたします。