ベクトルの一次独立、一次従属の判定

質問

ベクトル V1,V2,V3 は独立である
その時、{V1+V2,V2+V3,V3+V1}、{V1-V2,V2-V3,V3-V1}　は独立か従属か判定せよ

という問題なのですが、どこから手を付けたらいいのかさっぱりわかりません(´；ω；｀)

c1V1+c2V2+c3V3=0　とした時、c1=c2=c3=0 の場合が独立ということぐらいしかわからないです

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

c1(V1+V2)+c2(V2+V3)+c3(V3+V1)=0 とすると
(c1+c3)V1+(c1+c2)V2+(c2+c3)V3=0
V1,V2,V3 が１次独立より
c1+c3=0　・・・(1)
c1+c2=0　・・・(2)
c2+c3=0 ・・・(3)
辺々足して
2(c1+c2+c3)=0
c1+c2+c3=0 ・・・(4)
(1)，(4)よりc2=0
同様に　c3=0, c1=0
よってV1+V2,V2+V3,V3+V1は１次独立

V1-V2=-(V3-V1)-(V2-V3)なので
V1-V2,V2-V3,V3-V1は１次従属。

お礼

回答のおかげで以前に比べて少しは理解できました。
本当にありがとうございます。

補足

回答ありがとうございます。
一次独立の場合は理解できたのですが、

V1-V2=-(V3-V1)-(V2-V3)なので
V1-V2,V2-V3,V3-V1は１次従属。

の部分は他のベクトルの１次結合で書けることから１次従属と判断している

でよろしいのでしょうか？

理解が低くてすいません(´；ω；｀)

回答No.4

tmpname

係数体でなくてベクトル空間自体（という言い方が正しいかどうか不明ですが）の標数次第ですね。

回答No.3

tmpname

{V1+V2,V2+V3,V3+V1}は係数体の標数によって答えが変わりますね....
係数体の標数が2の時は一次従属です。

回答No.2

alice_44

＞　V1-V2=-(V3-V1)-(V2-V3)なので
＞　V1-V2,V2-V3,V3-V1は１次従属。
↑は、
c1(V1-V2)+c2(V2-V3)+c3(V3-V1)=0 だが c1=c2=c3=0 ではない
c1,c2,c3 の例として c1=c2=c3=1 が挙げられる という意味ですよ。
V1-V2=-(V3-V1)-(V2-V3) は、(V1-V2)+(V2-V3)+(V3-V1)=0 と
変形できますからね。

お礼

説明ありがとうございますm(_ _)m
おかげで理解することができました。