ベクトルの１次独立についての問題で悩んでいます。

質問

ベクトルの１次独立についての問題で悩んでいます。

1,a+b,b+c,c+aが１次独立であることを証明せよ。
2,a+b,b+c,c+d,d+aが１次独立とならないことを証明せよ。

１次独立がよくわからなくてお手上げ状態です。よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

平たく言えば、与えられたベクトルに対して適当な係数（０以外）をかけて足し合わせたとき、０ベクトルになることがあれば1次従属で、どうやっても０にはならない場合は1次独立になると言うことです。

http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/sendaipub/node12.html　の定義１．７を参照してください。

　１．項の問題は、背理法を使ってみてはいかがでしょうか。
　a+b,b+c,c+aが１次従属だとすると、c+aはa+b,b+cの線形結合で表されるはずです。
　　　c+a=p(a+b)+q(b+c)=pa+(p+q)b+qc　　（ただしp=q≠0）
ここで係数を比較すると、p=q=1 and p+q=0　となりますが、これを満たすp,qは存在しません。
　従って、最初に設定した「a+b,b+c,c+aが１次従属」が誤りとなりますので、a+b,b+c,c+aが１次独立」となります。

　２．項の問題については、具体的な例を挙げればOKです。
　１．項の問題のように各係数を文字で書き表して解いても良いですが、よく見ればすぐに気がつくと思います。

　　(a+b)-(b+c)+(c+d)-(d+a)=0

　各ベクトルに０でない係数をかけて足し合わせたものが０ベクトルになっていますので、1次従属になっています。

お礼

ありがとうございます。とても分かりやすい回答で感動しました。
また機会がありましたら回答お願いいたします。