【数学】ベクトルの問題です。

質問

【問題】
ベクトル↑a≡(a1,a2)、↑b≡(b1,b2)が一次独立の為のa1,a2,b1,b2に関する条件を求める。但し、a1,a2,b1,b2は実数とする。

この問題の私なりの回答を載せます。出来るだけ細かいご指摘をお願いします。

【以下回答】
ベクトルの一次独立の定義より
「ベクトル↑a、↑bが一次独立である」⇔「k*↑a+t*↑b=0を満たす実数の組(k,t)が(0,0)以外にない」である。

よって、
(I)ベクトル↑a、↑bが一次独立の定義より
k(a1,a2)+t(b1,b2)=0⇔(k*a1+t*b1,k*a2+t*b2)=0
したがって、
k*a1+t*b1=0・・・(1)
k*a2+t*b2=0・・・(2)
(1)*b2,(2)*b1より
k*a1*b2+t*b1*b2=0・・・(1)’
k*a2*b1+t*b1*b2=0・・・(2)’
(1)’－(2)’
k(a1*b2-a2*b1)=0・・・(3)
(1)*a2,(2)*a1より
k*a1*a2+t*a2*b1=0・・・(1)''
k*a1*a2+t*a1*b2=0・・・(2)''
(2)''-(1)''
t(a1*b2-a2*b1)=0・・・(4)
(3)、(4)より、a1*b2-a2*b1=0、または、k=t=0

このとき、a1*b2-a2*b1=0が成り立つと仮定すると
a1*b2=a2*b1より、b1について場合分けをして考える。

（a)b1≠0であるとき、a2=a1*b2/b1となる。
↑a≡(a1,a2)≡(a1,a1*b2/b1)≡a1/b2(b1,b2)≡a1/b1*↑b
となり、ベクトル↑a、↑bは一次従属となる。

(b)b1=0であるとき、a1*b2=0であるので、a1=0またはb2=0となる。
b1=0、かつ、b2=0のとき、↑b≡↑0となるので、ベクトル↑a、↑bは一次従属となる。
また、b1=0、かつ、a1=0のとき、a2=0、または、b2=0であれば、ベクトル↑a、または↑bが↑0となる。
従って、a2≠0,b2≠0であるとき、↑a≡(0,a2)であり、↑b≡(0,b2)≡a2/b2(0,a2)≡a2/b2*↑aとなり一次従属となる。
よって、b1=0のとき、ベクトル↑aと↑bは一次従属となる。

(a)(b)は、a1,a2,b2について考えた時も同様であるので、a1*b2-a2*b1=0となる時、ベクトル↑a、↑bが一次独立である事に矛盾する。従って、ベクトル↑a,↑bが一次独立であるとき、a1*b2-a2*b1≠0より、a1*b2≠a2*b1となる。

（II)a1*b2-a2*b1≠0のとき、ベクトル↑a,↑bが一次独立である事を証明するために、
対偶である「ベクトル↑a,↑bが一次従属であるとき、a1*b2-a2*b1=0となる。」ことを示す。

ベクトル↑a,↑bが一次従属であるとき、k*↑a+t*↑b=0・・・（＊）
について、少なくとも一つは０でない実数の組(k,t)が存在する。
すなわち、k≠0とするとき（＊）は、↑a=-t/k*↑bとなる。
ここで、D=-t/kとおくと、↑a=D*↑bが成り立つ。
よって、(a1,a2)=D(b1,b2)=(Db1,Db2)よりa1=Db1,a2=Db2となり
a1*b2-a2*b1=D*b1*b2-D*b2*b1=D(b1*b2-b2*b1)=0となる。
よって、ベクトル↑a,↑bが一次従属であるとき、a1*b2=a2*b1が成り立つ。

(I)(II)より、ベクトル↑a,↑bが一次独立となる為のa1,a2,b1,b2に関する条件はa1*b2-a2*b1≠0

回答No.2

noname#171582

（a)b1≠0であるとき、a2=a1*b2/b1となる。
↑a≡(a1,a2)≡(a1,a1*b2/b1)≡a1/b2(b1,b2)≡a1/b1*↑b
となり、ベクトル↑a、↑bは一次従属となる。
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a1/b2(b1,b2)になぜなるのかわかりません。

補足

すいません、記述間違いですね。
a1/b1(b1,b2)です。

回答No.1

muturajcp

ベクトル↑a,↑bが一次独立となる為のa1,a2,b1,b2に関する条件はa1*b2-a2*b1≠0
で正解です。
(I)（II)ともに正解だと思いますが、（II)は対偶ではなく直接証明できます。
（II)a1*b2-a2*b1≠0→↑a,↑bが一次独立の証明)
x=t(k,t),(t(k,t)は(k,t)の転置)
A=
(a1,a2)
(b1,b2)
,
k(a1,a2)+t(b1,b2)=0
とする
↓
ka1+tb1=0
ka2+tb2=0
↓
(a1,b1)(k)=(0)
(a2,b2)(t).(0)
↓
Ax=0

行列式
|A|=a1*b2-a2*b1≠0
だからAの逆行列
A^{-1}=
|A|^{-1}*
(b2,-b1)
(-a2,a1)
が存在し、Ax=0だから
A^{-1}Ax=x=(k,t)=0=(0,0)
k=t=0
∴
↑a,↑bが一次独立