ベクトルの１次独立

質問

a,b,cは実数とするとき、次のベクトルの組
1 　b
a , c
が1次独立となるためのa,b,cに関する条件を求めよ。

t(1)+bt(2)=0
at(1)+ct(2)=0
とおきましたが、ここからどう解いていけばいいのかわかりません。
1次独立であるならばa,b,cは全ての実数となり、それ以上条件を絞るためにはどうすればいいのでしょうか？
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.1

muttysatty · ベストアンサー

一次独立の条件＝一次従属でない条件
（ともに０ベクトルでない場合）
一次従属の条件
b/1 = c/a
or
c=ab

よって　　ｃ　が　ab と　等しくないこと
　　かつ　　a=b=0 でないこと　　　
が一次独立の条件

お礼

>一次独立の条件＝一次従属でない条件
この考え方でよく理解することができました。ありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

1次独立であるという定義をもう一度見直してみましょう。
縦ベクトルは表記しにくいので、横ベクトルで失礼。
ベクトル (x→) = (1,a) と (y→) = (b,c) が一次独立である
s(x→) + t(y→) = 0 ⇒ s = t = 0
ですから、質問者さんのように
t(1)+bt(2)=0
at(1)+ct(2)=0
とおいたら、この連立方程式が t(1)=0 かつ t(2) = 0 以外に解を持たないように a,b,c を定めれば良い。
行列表記して、
Ａ＝｜１　ｂ｜
　　｜ａ　ｃ｜
Ａｔ = Ｏ
が(t→) = 0 以外の解を持たない条件は、Ａが逆行列を持つ c - ab ≠ 0 となります。

２本のベクトルが１次独立って、先にも書いたように
s(x→) + t(y→) = 0 ⇒ x = t = 0
ですから、逆に１次従属ならば、(x→) = α(y→), (y→)=β(x→)とかける。つまり、２本のベクトルが平行ならば1次従属、平行でなければ1次独立。先に戻って、(1,a) と (b,c) が１次独立ならばこれらは平行であってはいけないので、c ≠ ab がその条件。a,bは0でもOKです。例えば (1,a)=(1,0), (b,c)=(0,1) のとき、これらは１次独立。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
1次独立について自分の中の理解不足を補うことができました。