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数学のベクトルの問題です。よろしくお願いします。
数学のベクトルの問題です。よろしくお願いします。 同一平面上に大きさ1のベクトルa,b,cがあり、 (aとbのなす角)=(aとcのなす角)=θ 0°<θ<180° である。 (s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c (s,tは実数)…(1) とするとき次の問いに答えよ。 (1)θ=90°のとき、(1)を満たすs,t (2)(1)を満たすs,tが存在しないときのcosθ
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(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c (a,b)=|a||b|cosθ=cosθ (a,c)=|a||c|cosθ=cosθ [1] (a,b)=0 (a,c)=0 (s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c=0 (a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(s+t-2)|a|^2=s+t-2=0 s+t=2 (s-1)b+(3t-5)c=0 (1-t)b+(3t-5)c=0 (3t-5)c=(t-1)b (3t-5)^2=(t-1)^2 (2t-3)(t-2)=0 t=3/2又はt=2 t=3/2 のとき s=1/2,c=-b t=2 のとき s=0,c=b (s,t)=(0,2)又は(s,t)=(1/2,3/2) [2] (s+t)a+sb+3tc=2a+b+5cを満たすs,tが存在すると仮定すると (s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c=0 だから (a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=0 (c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=0 を満たすs,tが存在する (b,c)=cos2θ (a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=s(1+cosθ)+t(1+3cosθ)-2(1+3cosθ) (c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(3t-s-4)(1-cos2θ) だから s(1+cosθ)+t(1+3cosθ)-2(1+3cosθ)=0 3t-s-4=0 t(2+3cosθ)=3+5cosθ となる cosθ=-2/3 とすると 1-cos2θ=10/9 (a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(s-3t+6)/3 (c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(3t-s-4)10/9 だから (s-3t+6)/3=0のとき(3t-s-4)10/9=20/9≠0 (3t-s-4)10/9=0のとき(s-3t+6)/3=2/3≠0 (s-3t+6)/3=0&(3t-s-4)10/9=0となるs,tは存在しない (s+t)a+sb+3tc=2a+b+5cとなるs,tは存在しない ∴ cosθ=-2/3
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- info22_
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小問の(1)と式番号の(1)が混乱するので例えば式番号は(1)を使い、小問番号は[1]などとすると良い。 [1] 問題の条件から 「a・b=0 かつ a・c=0」 「a・a=1, b・b=1, c・c=1」 (・は内積を表す) などがいえます。 (1)の両辺とaの内積をとれば s+t=2…(A) (1)の両辺とbの内積をとれば s+3tb・c=1+5b・c →s+3t=6 または s-3t=-4 (A)から s=0,t=2 または s=1/2,t=3/2 (1)でs=0,t=2とすると 6c=5c cはゼロベクトルでないからこのケースは存在しない。 (1)でs=1/2,t=3/2…(B)とすると b+c=0…(C) (1)の両辺とcの内積をとれば sb・c+3t=b・c+5 (C)を代入 -1/2+9/2=-1+5で満たしている。 (B)が(1)の答え [2] (s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c …(1) aと内積をとると (s+t)+(s+3t)cosθ=2+(2+5)cosθ (s+3t-7)cosθ=2-s-t cosθ=(2-s-t)/(s+3t-7)(s+3t-7≠0)…(D) 0°<θ<180°では|cosθ|<1なので |(2-s-t)/(s+3t-7)|≧1(s+3t-7≠0)…(E)のとき(1)を満たす実数s,tが存在しない。 (E)のとき のcosθは存在しないので cosθを求められませんね。
お礼
説明までしてくださってありがとうございました! 分かりやすかったです!
- Tacosan
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これが「数学のベクトルの問題」であることはわかりました. で, あなたの質問はなんですか?
お礼
言葉が足りなかったようですみません 回答ありがとうございました
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