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ベクトルの一次独立
ベクトルＡＰ＝(1-s)ベクトルa ＋ 4/7sベクトルb ベクトルＡＰ＝2/3tベクトルa ＋ (1-t)ベクトルb となったとき、ベクトルaとベクトルbは０ベクトルでなく、平行でない（１次独立）ので 1-s＝2/3t 4/7s＝1-t となり、これを解いてsとtを出しベクトルＡＰを求めますよね。 ここで質問なんですが、なぜ１次独立のときは係数比較（？）ができないんですか？ ベクトルaとベクトルbが０ベクトルのときダメだっていうのはなんとなくわかるんですが、平行のときはなぜダメなのかがわかりません。 回答お願いします！
- sweetstyle
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＞ なぜ１次独立のときは係数比較（？）ができないんですか は、「１次独立でないとき」のタイプミスですね？ ベクトル(a→)と(b→)が１次独立 ⇔ （ s(a→) + t(b→) = 0 ⇔ s = t = 0 ） 0ベクトルでない(a→)と(b→)が平行 ⇔ (b→) ＝ c (a→)となるcが存在 なので、(a→)と(b→)が１次独立ならば s (a→) + t (b→) = u (a→) + v (b→) のとき (s-u)(a→) + (t-v)(b→) = 0 ⇔ s = u ∧ t = v であるから、ベクトルの係数を比較すればよい。 0ベクトルでない (a→)と(b→)が平行（つまり(b→) = c(a→)であるcが存在する）ならば s (a→) + t (b→) = u (a→) + v (b→)のとき、 (s-u)(a→) + (t-v)(b→) = 0 (s-u+c(t-v))(a→) = 0 s-u+c(t-v) = 0 なので s-u+c(t-v) = 0 を満たす全ての s,t,u,v を解としなければならないが、係数比較で求められる s = u ∧ t = v というのはその無数にある解のうちたった１個でしかない。 ということで、係数比較では全ての解を求められないから「できない」とか「ダメ」ということになる。
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- kabaokaba
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>ここで質問なんですが、なぜ１次独立のときは係数比較（？）ができないんですか？ 「一次独立のときに係数比較ができる」のが正しい． 二つのベクトルa,bが一次独立ってのは， 本当の定義は ka+lb=0 ならば k=l=0 となる ということ． 一次独立ではない（一次従属という）というのは ka+lb=0 なのに k と l の少なくとも一つは0ではない ということ． 二つのベクトルのうち少なくとも一方が0だったら 0a+1b=0 (b=0のとき)みたいになって「一次独立」ではない 二つのベクトルが平行だったら(a,bともに0ベクトルではないとする)， a=sbのようにかけて（sは0ではない） (-s)a+sb=0 となって，-s, sはともに0ではないから 一次独立ではない． だから >ベクトルaとベクトルbは０ベクトルでなく、平行でない というのは「一次独立」ってことになる． そして，二つのベクトル a,bが一次独立で A= xa+yb A= ua+vb と二通りに表わすことができたならば xa+yb=ua+vb (x-u)a+(y-v)b=0 で，a,bが一次独立ならば，x-u=0, y-v=0 つまり「係数比較ができる」となる．
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