ベクトルの問題です。

質問

表記上、”ベクトルa”を単に”a”のように表していきます。

平面上のベクトルa、b、c、dについて、|a|＝|b|＝|c|＝|d|＝1とします。
また、a・b＝a・b＝a・d＝b・c＝b・d＝c・dとします。

このとき、a、b、c、dはどの2つのベクトルを考えてもそれぞれなす角が等しいということになるので、a、b、c、dは『同じベクトル』か、もしくは『なす角90°のベクトル』の2種類の単位ベクトルのいずれか、と考えたのですが、この考えは合っていますか？

勿論、例えばaを基準に考えたら、aから見て反時計回り側にb、時計回り側にcというようなことも、起きないものとなりますが。

回答、よろしくお願いします。

回答No.3

kamobedanjoh · ベストアンサー

質問上の定義から、a=b=c=d と、つまり単一ベクトルをわざわざ四個の記号で表現したに過ぎないと解釈せざるを得ません。
絶対値が「１」であっても、負数を含む乗算では必ず負数が表れます。
負のベクトルは正のベクトルの反対方向になります。９０度のズレは生じません。
全く同じ条件で四人が同時に、同じ方向に同じ速さで走って行って、その到着地点が同じであったという結果に等しい設問です。

お礼

皆さんの回答を読みながら、再考してみましたが、納得がいきました。
そうですね。同じベクトルで間違いないですね。

回答、ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

>平面上のベクトルa、b、c、dについて、|a|＝|b|＝|c|＝|d|＝1とします。 また、a・b＝a・b＝a・d＝b・c＝b・d＝c・dとします。 このとき、a、b、c、dはどの2つのベクトルを考えてもそれぞれなす角が等しいということになるので、a、b、c、dは『同じベクトル』か、もしくは『なす角90°のベクトル』の2種類の単位ベクトルのいずれか、と考えたのですが、この考えは合っていますか？

設問の意図がいまだに判りませんけど、{a, b, c, d} なら『同じベクトル』。

同じでないのが現れるのは、{a, b, c} の場合。『正三角形』の配置が加わる。

お礼

少々勘違いをしていました。直交することはありませんね。

『同じベクトル』で間違いないですね。
回答、あいがとうございました。

回答No.4

ereserve67

少し記号の変更をします．

4個の平面上の単位ベクトルa_1,a_2,a_3,a_4を考えるとき，

i≠jなる任意のi,jについてa_i・a_j=一定

とするとき，a_1,a_2,a_3,a_4の向きはどのようになるか，ということですね．

a_k=(cosθ_k,sinθ_k)(i=1,・・・,4)とおきます．θ_1,・・・,θ_4がどのようになるかということです．

a_i・a_j=cosθ_icosθ_j+sinθ_jsinθ_j=cos(θ_i-θ_j)

i≠jのときこれは一定値をとるからそれをcosθ(0≦θ≦π)とします．

cos(θ_i-θ_j)=cosθ⇔θ_i-θ_j≡±θ(mod 2π)

θ_i≡θ_j±θ(mod 2π)

(1)θ_1≡θ_2±θ(mod 2π)
(2)θ_1≡θ_3±θ(mod 2π)
(3)θ_1≡θ_4±θ(mod 2π)
(4)θ_2≡θ_3±θ(mod 2π)
(5)θ_2≡θ_4±θ(mod 2π)
(6)θ_3≡θ_4±θ(mod 2π)

(1)，(2)より

θ_2±θ≡θ_3±θ(mod 2π)

これから次の場合が考えられます．

(i)θ_2≡θ_3(mod 2π)
(ii)θ_2≡θ_3±2θ(mod 2π)

(i)のとき，(4)よりθ=0．このとき(1)～(6)より

θ_1≡θ_2≡θ_3≡θ_4

すなわちa_1=a_2=a_3=a_4．

(ii)のときθ_2-θ_3≡±2θ(mod 2π)で，(4)よりθ_2-θ_3≡±θ(mod 2π)であるから，

±2θ=±θ(mod 2π)

すなわち

2θ=±θ(mod 2π)

⇔θ≡0(mod 2π)または3θ≡0(mod 2π)

⇔θ=0または3θ=2kπ(k：整数)

⇔θ=0,2π/3（0≦θ≦π）

θ=0は(i)に同じです．

θ=2π/3とします．

このとき(1)～(6)は

(1)θ_1≡θ_2±2π/3(mod 2π)
(2)θ_1≡θ_3±2π/3(mod 2π)
(3)θ_1≡θ_4±2π/3(mod 2π)
(4)θ_2≡θ_3±2π/3(mod 2π)
(5)θ_2≡θ_4±2π/3(mod 2π)
(6)θ_3≡θ_4±2π/3(mod 2π)

ここでθ_1=0としても一般性を失いません．(1)，(2)，(3)から

θ_2=±2π/3(mod 2π)
θ_3=±2π/3(mod 2π)
θ_4=±2π/3(mod 2π)

これはa_1とa_i(i=2,3,4)が2π/3の角をなすことを意味します．

a=(cos(2π/3),sin(2π/3))，b=(cos(-2π/3),sin(-2π/3))

とすると，

（☆）　a_2,a_3,a_4∈{a,b}

です．

(4)，(5)，(6)はそれぞれa_2とa_3，a_2とa_4，a_3とa_4が2π/3の角をなすことを意味するから

a_2≠a_3，a_2≠a_4，a_3≠a_4

これは（☆）に矛盾します．

(i),(ii)から，θ=0．つまり，a_1=a_2=a_3=a_4．

質問者様の前半の可能性『同じベクトル』ということになります．

お礼

証明を与えて頂き、ありがとうございます。論理的に体系づけられると、やはりスッキリしますね。

少し長いので、読むのが大変でしたが・・・

ご回答、ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

確認です.

「a・b＝a・b＝a・d＝b・c＝b・d＝c・d」は, 本当にこの条件で正しいんでしょうか? 特に, 最初の「a・b＝a・b」をなぜわざわざ与えているのかがさっぱりわからないんですが.

補足

a・b＝a・cの誤りでした。すみません。

回答No.1

178-tall

たとえば、a・b = a・c = a・d = b・c = b・d = c・d = 0 だとすると？

a・b = a・c = 0 だから、a と b が直交、a と c も直交。
平面上では、このケースだと b と c が平行になるのでは？ (つまり、b・c = +1, or -1 )

内積が非零の場合でも同様か？

お礼

その場合、a・b＝a・c≠b・cですね。
皆様の回答によりますと、直交することもなさそうです。

回答ありがとうございます。