1次独立の問題

質問

1　2　4
　-1、3、1
　　2　-1　3

のような行列のベクトルが１次独立かどうかを調べる問題で解答が

　　　1　2　4　　　　　　　1　2　4　　　　1　2　4
rank　-1　3　1　=rank　0　5　5=rank　0　5　5=2<3
　　　2　-1　3　　　　　0　-5　-5　　　　0　0　0

より１次従属とありました。
この解答を導くまでの途中式の変形や計算がわかりません。
どのように導いているのかどなたか解説してください。式がずれてて見づらいかと思いますがどうかよろしくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

もちろん、すべての行列に対して、このような変形が適用できるわけ
ではありません。
rankを計算するには、基本的に行列のどこかの成分を０にする変形を
行うのですが、この行列ではとりあえず、２行１列と３行１列成分を
０にすることを目的として、
１行目を２行目に足す、１行目の－２倍を３行目に足す
という操作を行いました。
そうすると、うまいことに0,5,5と0,-5,-5という比例関係が出てきたた
め、
２行目を３行目に足す
という操作を行いました。
すると、３行目がすべて０になって、rankが２になることが分かりま
す。
この解答ではこのような計算過程になっていますが、もちろん変形方法
は一意的ではなく、他にも、１行２列、１行３列成分を０にすることを
目的として、
１列目の－２倍を２列目に足す、１列目の－４倍を３列目に足す
という操作を行っても、rankが２であることが分かります。
３次行列くらいなら行列式を計算するのは簡単で、この行列の場合も
行列式が０なので、３つのベクトルは一次従属であることが分かり、
従って、rankは２以下であることを前提として、行、列の操作をして
行けばよいと思われます。
しつこいようですが、まず、どこかの成分を０にする操作をして、
それに付随して、他の成分が比例関係になればうまくいきます。
とにかく、練習して感覚をつかむことです。

お礼

詳しい回答ありがとうございました。zk43さんのおかげで解答の手順がわかりました。
これからいろいろな問題を解いて、慣れていきたいと思います。

回答No.2

koko_u_

>この解答を導くまでの途中式の変形や計算がわかりません。
単に rank を求めているだけです。わからない場合は教科書を読んで下さい。

もしかして「rank が 2 なので一次従属である」すらもわからない？

補足

＞もしかして「rank が 2 なので一次従属である」すらもわからない？r=3にならないので１次従属ということでしょうか？

回答No.1

zk43

最初の等号は、
１行目を２行目に足す、１行目の－２倍を３行目に足す
次の等号は、
２行目を３行目に足す

補足

回答ありがとうございます。この途中式の変形についてですが、
どのような行列のベクトルに対しても
＞最初の等号は、
＞１行目を２行目に足す、１行目の－２倍を３行目に足す
＞次の等号は、
＞２行目を３行目に足す
となるのでしょうか？また、２はどうやってもとめるのですか？