行列式の問題で・・・

質問

先日、学校でｎ項ベクトルについて習ったのですが、
一次独立、従属がよく分かりません。
　　１　　２　　４
　　３、　１、　２
　－１　　５　　１
というふうに（３、１）ベクトルが3個というときは
（３，３）行列とみて、この行列式の値が０のときは、
一次従属となるんですよね。そうなると、たとえば、
4項ベクトルが３個となるとどうなるのですか。
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.4

shroeder · ベストアンサー

ベクトルは縦ベクトルとします。
4次元ベクトルが３個の場合には、まず
4行3列の行列を作ります。次に4つの行から3つを選んで
3行3列の行列を作って、その行列式を考えます。

3つの行をうまく選んで行列式が0でなければ一次独立、
どのように3つの行を選んでも行列式が0ならば一次従属

です。うまく行列式が0でないのに当たれば計算が終わりますが、
一次従属の場合には今の場合10個の行列式を計算しなければ
ならないので大変です。

通常は掃き出し法（またはガウスの消去法）という方法を
使って計算します（行列式の計算も行列が大きくなると
掃き出し法の方が楽です）。これは機械的に計算できる
ので、コンピューターにプログラムすることもできます。

回答No.3

guiter

ベクトルが次の条件を満たすとき一次独立と言います。

　k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0　⇒　k1 = k2 = … = km = 0

ここで、k は定数、αは n次元ベクトルとします。
言葉で書くと m 個のベクトルの一次結合が０になるとき、自明な解 k1=k2=…=km=0
以外の解がないならばこれらの m 個のベクトルは一次独立と言います。

これの意味するところは、dyadics13 さんの書かれている
＞あるベクトルの集合において、
＞任意の１つのベクトルを他のベクトルの一次結合
＞で表現できないことを意味します。
と同じ意味です。

ご質問の場合は、n=4,m=3 ですね。
＞４次元空間に３つのベクトルがあることを意味します。
＞この場合これらの３ベクトルでは高々３次元空間を表現するだけになります。
ということなのですが、上の式において m < n でも構いません。
３つのベクトルが一次独立のときは４次元空間中で３次元空間を、
一次従属ならば２次元あるいは１次元しか表現できないことになります。

ベクトル空間の次元と同じ個数のベクトルの一次独立性を調べるときには
行列式の値を計算することで確認できます。

回答No.2

dyadics13

行列式は正方行列を前提として定義されます。
m×nの行列でm=nではない場合では基本的に
行列式を導き出せないのです。

一次独立というのは、あるベクトルの集合において、
任意の１つのベクトルを他のベクトルの一次結合
で表現できないことを意味します。

例えば３次元空間に３つのベクトルがあるとして、
これらの３ベクトルがある平面上に乗っている場合、
一次独立にはならず一次従属になります。
この場合一次独立となるにはこの平面に垂直な成分
を持つベクトルが必要となります。

一次独立なベクトルの組で、考えている空間全ての
点を表現することができます。上の一次従属の例では
平面上しか表現できませんよね。

以上のような性質を簡単に調べる方法の一つが
行列式を計算してみることです。

ご呈示の例では４次元空間に３つのベクトルが
あることを意味します。この場合これらの
３ベクトルでは高々３次元空間を表現するだけになります。

回答No.1

ymmasayan

４×４でないと行列式の値が計算できません。
もう一つベクトルを追加する必要があるはずです。