行列式の証明方法と重要定理
- 行列式の証明方法として、同次連立一次方程式に自明な式を付け加えることを利用します。
- 定理「ｎ次正方行列Ａの行列式が０であることと、行列Ａの列ベクトルが１次従属であることは同値である」を利用すれば証明できます。
- また、定理「ｎ項ベクトルの一部を取り出した部分ベクトルが１次独立ならば、元のベクトルも１次独立である」とも利用します。
- ベストアンサー
行列式
「n<mのとき、m個のn項ベクトルは１次従属である」 の証明なんですが、同次連立一次方程式 a11x1+a12x2+…+a1mxm=0 a21x1+a22x2+…+a2mxm=0 … an1x1+an2x2+…+anmxm=0 に自明な式0*x1+…+0*xm=0を形式的にm-n個付け加えた式に定理 「ｎ次正方行列Ａ=[a1 … an]において｜Ａ｜=0であることとa1,…,anが１次従属であることは同値である」 と、定理 「ｎ項ベクトルa1,…,amの各ベクトルの第１成分から第ｒ成分(r<n)を並べてできるｒ項ベクトルをa'1,…,a'mとおくとき、a'1,…,a'mが１次独立ならばa1,…,amも１次独立である」 を適用すればよい、と書いてあるのですが、どのように適用すればいいのかわかりません。 どなたかわかる方、教えて下さい。よろしくお願いします。
- papa731
- お礼率42% (3/7)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
朝方もほとんど同じ質問に答えた気がしますが， なれないとこのあたりは確かに分かりにくいです． 分からない場合は一般の場合ではなく，n=2，m=3とかの 具体的かつ小さい数で計算してみるのが大事です． 線型代数のこのあたりの議論は 本質的には連立方程式を加減法で解いてるだけです． 閑話休題． >に自明な式0*x1+…+0*xm=0を形式的にm-n個付け加えた式 これの係数行列を A としましょう． m次正方行列 A の下の m-n 行は 0 しかないので，|A|=0です すなわち，A の列ベクトルは一次従属です． これが最初の「定理」の適用です． 次に， >「ｎ項ベクトルa1,…,amの各ベクトルの第１成分から第ｒ成分(r<n)を並べてできるｒ項ベクトルをa'1,…,a'mとおくとき、a'1,…,a'mが１次独立ならばa1,…,amも１次独立である」 この二つ目の定理は，証明したい定理と並べた場合に 文字がごちゃごちゃ、mとnが入り乱れているので 分かりにくいです． この二つ目の定理は 「適当な個数のk次ベクトルが存在して， 最初のr個だけの成分でできたベクトルが一次独立だったら もともとのベクトルも一次独立」(ただし r < k ) という風に理解します． これの対偶をとると 「もともとのベクトルが一次従属だったら 部分的なベクトルも一次従属」です． さて。。。m 次正方行列 A の列ベクトルは一次従属でした． ですので，これらの「部分的なベクトル」も一次従属です． 「部分的なベクトル」として 「本来の部分」だけを取り出せばよいわけです． ========================= このあたりは，もうちょっと抽象的に処理する方が 文字も少なくて分かりやすいはずです． 「n<mのとき、m個のn項ベクトルは１次従属である」 なんて定理は， n項ベクトルの空間は n 次元なので， m(>n)個のベクトルは独立にはなれないというだけですみます． 抽象論として次元の話を構築しておいて，数ベクトルは あくまでも一例にすぎないという立場です． ＃もちろん，抽象的にベクトル空間の話をしても ＃どうしても成分計算に相当する部分はでてきますが ＃応用が広がります． 数ベクトルにだけで議論をすると ベクトルの成分に依存した議論になることが多いので 逆に文字が入り乱れて混乱します．
関連するQ&A
- 次元に関する証明
Vをベクトル空間とする。 (1)Vにはｎ個の線型独立なベクトル x1,x2,…,xn が存在する。 (2)Vの n+1 個のベクトル y1,y2,…,yn+1 は線型従属である。 このとき、dimV = n であることを証明したい。 (2)から線型関係の式を作り、yは線型従属であることと、n項までのスカラー(a1,a2,…,an)は線型独立であることより an+1≠0 。 次に、上で作った式から yn+1 = （略）にして、 y1,y2,…,yn がVを生成し、線型独立であることを確認して、dimV=n という風（分かりにくい説明ですみません）に証明しようと思うのですが、この考え方でいいのでしょうか。 また、ベクトルx,yをうまく用いた、（きれいな）証明を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)について…（続く）
【問題】An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)につい数列{An}は単調増加であることを示せ。すなわちAn<A(n+1)を示せ。またAn<3であることも示せ。 （※ただし,二項定理を利用せよ。） よろしくお願いします。 二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです＾＾；
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列式の問題で・・・
先日、学校でｎ項ベクトルについて習ったのですが、 一次独立、従属がよく分かりません。 １ ２ ４ ３、 １、 ２ －１ ５ １ というふうに（３、１）ベクトルが3個というときは （３，３）行列とみて、この行列式の値が０のときは、 一次従属となるんですよね。そうなると、たとえば、 4項ベクトルが３個となるとどうなるのですか。 どなたかアドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 隣接４項間漸化式の行列を用いた解法
隣接４項間漸化式の行列を用いた解法 x（n+3)-2x(n+2)-x(n+1)+2x(n)=0 ※ここでの括弧内の項はｘの下付文字を表しています。 そしてまず，ｘ０＝３，ｘ１＝２，ｘ２＝６という初期条件が与えられています。 （１）ベクトルＸ（ｎ＋１）＝ＴＸ（ｎ）を満たす行列Ｔを求めよ。 ただし、ベクトルX（n）=( x(n) ) (x(n+1)) (x(n+2)) とする。 （２）T固有ベクトルを求めよ。ただし、各固有ベクトルは、第1成分を1とするものを求めよ。 （3）ベクトルX0=(3) (2) (6) を問（２）で求めたTの固有ベクトルの線形和の形で表せ。 （4）問（3）の結果を用いてx11を求めよ。ただし、求めるx11の値だけ示すのではなく、回答の過程も示すこと。 という問題です。 私は問（3）まで解けて問（4）はわかりません。ご回答お願いします！ ちなみに、 固有値は1、-1、2 T= (0 1 0) (0 0 1) (-2 1 2) X0= (1) (1) (1) (1) + (-1) + (2) (1) (1) (4)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- シュヴァルツ不等式、三角不等式(複素数)の証明
x,yは成分が複素数の列ベクトル (1) 任意のn項列ベクトルについて |(x|y)|=||x||・||y||⇒xとyが線型従属、つまりxとyの成分が比例する の証明がわかりません (2) (x|y)+(y|x)≦2|(x|y)|となる理由がわかりません 任意のn項列ベクトルについて ||x+y||=||x||+||y||⇒xとyが線型従属、つまりxとyの成分が比例する の証明がわかりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像、ランクの問題について説明お願いします。
線形写像、ランク の問題及び解答があるのですが、解答が理解できないので教えてください。 -----例題-------- ｎ個の実数 a1, a2, ・・・、an を固定する。R^n のベクトル ｘ で、その成分 x1，x2，・・・、xn が方程式 a1x1 + a2x2 + ・・・ + anxn = 0 をみたすようなものの全体を W とするとき、W の次元を決定せよ。 -----解答--------- 写像 ｆ： R^ｎ → R を f (ベクトル x ) = f t (x1, x2, x3,..., xn) = a1x1 + ・・・ + anxn (ftのtはf の転置行列の印） によって定義すると、これは線形写像である。そして、W = Ker f に他ならない。 もしもすべての ai が ０ の場合は明らかに W = R^n であるから、dim W = n である。 もしも ai のうち１つでも ０ でないのがあると、写像 f は全射になるから、線形写像の基本定理から dim W + dim R = dim R^n = n したがって dim W = n - 1 -------解答終わり------- という例題解答があるのですが、なぜ dim W = n - 1 となるのか、つまり、 なぜ dim R = １ となるのかがわかりません。 説明をよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の行列式と内積の問題です
nベクトルとmベクトルの内積を〈n,m〉で表す。a∈R^nとする。 n次正方行列A＝［a1 a2 a3 ・・・ an］に対して、 det(［〈ai aj〉］n×n)＝（ det(A) ）^2 を示せ。 ［〈ai aj〉］n×nは、aijを（i,j)成分するn×n行列です。 転置を使って内積を表して証明するらしいのですが、方法がいまいち分かりません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ファンデルモンドの行列式の証明方法
d/dt|A1(t),A2(t),....,An(t)|=|A1'(t),A2(t),....,An(t)|+ |A1(t),A2'(t),....,An(t)|+..... +|A1(t),A2(t),....,An'(t)| を使って、ファンデルモンドの行列式 |1 x1 x1^2 .... x1^(n-1)| |1 x2 x2^2 .... x2^(n-1)| | . . . . . . . . . . . . . . . . .| | . . . . . . . . . . . . . . . . .| =Π(xj-xi) (1<=i<j<=n) | . . . . . . . . . . . . . . . . .| | 1 xn xn^2 .... xn^(n-1)| を証明するという問題にどなたか回答お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の問題
３問解けないので、教えてください。 1.次のベクトルa1,a2の張る部分空間を解空間としてもつような同次連立1次方程式を1つ求めよ。 (1) a1=(1,-1,2) a2=(2,1,-1) (2) a1=(1,-2,-3,1) a2=(1,1,-2,-2) 2.R^3またはR^4の次の部分空間の次元と1組の基底を求めよ。 (1) {(x1,x2,x3)| x1=3x3} (2) {(x1,x2,x3)| 2x1-x2+5x3=0} (3) {(x1,x2,x3,x4)| x1+x2+x3=3x2+2x3+x4=0} 3.R^3の次のベクトルの生成する部分空間の次元が2となるようにaの値を定めよ。 a1=(1,3,a) a2=(2,5,1) a3=(1,2a,5) a4=(1,5,4a) よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
何度もすみません。ほんとによくわかりました。 今後は小さい数で考えてみること、忘れないようにします。