1/(x-1)(x+1)^2

質問

1/(x-1)(x+1)^2を積分するとき、1/(x-1)(x+1)^2=(A/x-1)+(B/x+1)+{C/(x+1)^2}と置き換えてＡ，Ｂ，Ｃを恒等式で求めて積分する、とあったのですが、(A/x-1)+(B/x+1)+{C/(x+1)^2}と置き換えるのは定石として覚えておくべきなのでしょうか？？？？

回答No.4

toranekosan222 · ベストアンサー

補足　あと、覚えることは
1/(x-a)(x-b)^nという関数の積分は
1/(x-a),1/(x-b),1/(x-b)^2,,,,1/(x-b)^nに
定数をかけただけの形に分解すれば、簡単に
積分できる。

という事です。

1/(x-a)(x-b)^2= A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-b)^2
=A/(x-a)+(C+Bx-Bb)/(x-b)^2
=(A(x-b)^2+(x-a)(C+Bx-Bb))/(x-a)(x-b)^2
=(Ax^2-2Abx+Ab^2+Bx^2+(C-Bb-aB)x-a(C-Bb))/(x-a)(x-b)^2
=((A+B)x^2+(C-Bb-aB-2Ab)x+Ab^2-a(C-bB))/(x-a)(x-b)^2

A+B=0
C-Bb-aB-2Ab=0
Ab^2-a(C-bB)=1
A=-B, C=B(3b+a)
Bb^2-aB(2b+a)=1

B=1/(b^2-a^2-2ab)
A=-1/(b^2-a^2-2ab)
C=(3b+a)/(b^2-a^2-2ab)

となります。

あとはその度に計算しましょう。
覚えるのは　1/(x-1) と1/(x+1)^2だけに分解されるわけじゃないってとこです。これで時間ロスがなくなりますよ

回答No.5

kkkk2222

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検証してみました。

1/(x-1)(x+1)^2=(A/x-1)+(B/x+1)+{C/(x+1)^2}＝Ｐ
1/(x-1)(x+1)^2=(A/x-1)+(Bx+C)/(x+1)^2}＝Ｑ

Ｑに対してＰが如何程のＭＥＲＩＴがあるかです。数列に現れる部分分数分解は大した計算を必要とはせず、まともに行なったのは１/((x^4)+1)の積分が最後でした。むしろ＜部分分数分解の一様性＞の方に・・・＞

最初Ｐに、出会った時＜そうなの＞と言う感覚しかなく、いままでまともに思考したことが、ありませんでした。

＞この問題で本質的な所は、・・・

を読んで＜ほんまかいな＞と感じたのが正直なところです。何の確信もないままでは反論も出来ないし・・・当方が感じていたのは、＜計算はどちらが有利か＞です。

まずＰ
途中計算は省略、係数比較ではなくて数値代入、結果微分も使用。
Ｐ=(A/x-1)+(B/x+1)+(C/(x+1)^2))
=(1/４)【(１/x-1)-(１/x+1)-(２/(x+1)^2)】
次にＱ
Ｑ=(1/４)【(1/x-1)-((x+3)/(x+1)^2))】
=(1/４）【(1/x-1)-(x+1)/((x+1)^2)-((2/(x+1)^2))】
=(1/４)【(1/x-1)-(1/(x+1))-(２/(x+1)^2)】
自然な流れでＰに移行。時間差はあるが。この時点で＜やっぱ同じと判断＞

今度は次数を上げて、
1/(x-1)(x+1)^３
=(A/x-1)+(B/x+1)+（C/(x+1)^2）+（D/(x+1)^３）・・・Ｒ
=(A/x-1)+（Bx^2+Cx+D)/(x+1)^３）・・・Ｓ

まずＲ
数値代入、結果微分は２回使用。
Ｒ=(1/８)【(１/x-1)-(１/x+1)-（２/(x+1)^2）-（４/(x+1)^３）】
計算は思ったより楽。
おまけに、一般解も出そう。

次にＳ・・・途中で計算煩雑なため挫折。

結論。Ｐ、Ｒは本質の様です。
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回答No.3

toranekosan222

本質的な所を覚えても良いという立場です。

この問題で本質的な所は、AとBとCを公式で求めて積分する所ではありません。

本質的な所は、1/xと1/x^2という形ならば、簡単な形で積分できますよという事です。

分数形の関数を積分するときは、y^n　あるいは　1/y^nというな簡単な形に、y=x+aという変数置換を用いてできるかというとこにあります。

たとえば
1/(x^4-1)の時はどうしたらいいかt
というのも良い問題ですね。この時は、1/(x^2+1)が最終的に
出てくるので三角関数を使って変数置換する必要があります。

回答No.2

noname#26816

分母がややこしい形をしている時、「何とかして簡単な形にできないだろうか？」という発想で考えていると、思いつくのではないでしょうか？
暗記するというか、慣れると直感的にできるようになるかと思います。

回答No.1

nanashisan_

数学を暗記で解こうとすると数学が嫌いになりそうなので、
簡単に積分できそうになければ積の形にして部分積分するか、今みたいに和の形にする方法がある、という程度に覚えておけばよいかと思います。