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xの方程式 x^3 -2x^2 +2x -1 = 0 の解を a,b,

xの方程式 x^3 -2x^2 +2x -1 = 0 の解を a,b,c とするとき、 a^2 +b^2 +c^2 及び a^3 +b^3 +c^3 の値の求め方を教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

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  • lord2blue
  • ベストアンサー率46% (52/112)
回答No.3

どこまで使えるのか…わからないですが。 まず1を代入してみる(0次の係数が-1なので)と等式が成り立つので、(x-1)で割れることがわかります。 割ってみると (x^2-x+1)(x-1)=0 となりますね。 ここで2次式に解の公式を用いて解を三つ求めてしまってもできます。 しかし、そうしない方が簡単です。 a=1 として (x^2-x+1)=(x-b)(x-c) とすると、 b+c=1 , bc=1 がわかります。 よって、 a^2+b^2+c^2 =1+(b+c)^2-2bc =1+1-2 =0 さらに x^2-x+1=0 の解がb,cなので、 b^2-b+1=0 変形して b^2-b=-1・・・(1) また、 b^2=b-1 の両辺にbをかけると b^3=b^2-b (1)より b^3=-1 同様に c^3=-1 a=1 だから a^3+b^3+c^3 =1-1-1 =-1 以上です。

MTKKS_1992
質問者

お礼

非常に分かりやすい回答ありがとうございます。 ベストアンサーに選ばせていただきますね。

その他の回答 (3)

回答No.4

>a^3+b^3+c^3は自分でやってみてください それはないだろう。2乗の和なんかとは比べものにならない問題だよ。。。。。w 解と係数から、a+b+c=2、ab+bc+ca=2、abc=1. a^3 +b^3 +c^3 =a^3 +b^3 +c^3 -3abc+3abc=(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=(a+b+c)*((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))+3abc 以下は、自分で計算できるだろう。 別解として x^3 =2x^2 -2x +1 だから、a^3 =2a^2 -2a +1であるから、bもcも同様にして a^3 +b^3 +c^3=2(a^2 +b^2 +c^2)-2(a +b +c)+3 としてやっても良い。 この次数を下げる方法は、いろんなことに有効だから覚えておいたら良い。 質問者は高1だろうか?高2になったら、数列を習うだろう。 そうすると、2乗の和、3乗の和だけではなく、4乗の和、5乗の和、6乗の和 ‥‥‥ なんかも簡単に求められる方法がある。

MTKKS_1992
質問者

お礼

回答ありがとうございます。

noname#116057
noname#116057
回答No.2

3次方程式の解と係数の関係より a+b+c=2,ab+bc+ca=2,abc=1  a^2+b^2+c^2 =(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =2^2-2×2=4-4=0 a^3+b^3+c^3は自分でやってみてください。

MTKKS_1992
質問者

お礼

回答ありがとうございます。

  • yukaru
  • ベストアンサー率12% (143/1118)
回答No.1

とりあえずx-1で割ってみるのがいいでしょう 上等な答えを求めてるんじゃないんでしょ?

MTKKS_1992
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 返事が遅くなってすみません。

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